 |
|
Общее решение телеграфных уравнений
Пусть имеется однородная двухпроводная длинная линия, которая возбуждается от генератора гармоническим колебанием с частотой 
. В силу линейности системы в любом сечении линии колебания будут гармоническими. Гармонический процесс по определению не имеет начала и конца (действует при 
). Поэтому общее решение при гармоническом возбуждении представим, используя метод комплексных амплитуд как
(10.3)
Поскольку по времени нам решение известно, то система уравнений (10.2) в частных производных переходит в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая в комплексной форме примет вид
(10.4)
Здесь U(x)и I(x)– распределения комплексных амплитуд напряжения и тока вдоль длинной линии. Используя понятия погонного комплексного продольного сопротивления Z=R+jwLи погонной комплексной поперечной проводимости Y=G+jwCсистема (10.4) примет вид
(10.5)
Система уравнений (10.5) в конкретном случае дополняется граничными условиями: U(0), I(0), U(l), I(l). Продифференцировав первое уравнение в (10.5) и подставив в него значение производной от тока по x второго уравнения, получим волновое уравнение
(10.6)
где 
– коэффициент распространения. 
Общее решение уравнения (10.6) запишем в виде
. (10.7)
где 
и 
– постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий. Из первого уравнения системы (10.5) находим распределение тока вдоль линии
(10.8)
Здесь 
– волновое сопротивление. 
В общем случае коэффициент распространения 
и волновое сопротивление 
величины комплексные:
(10.9)
где 
– коэффициент затухания; 
– постоянная распространения волны;
. (10.10)
Они являются основными параметрами длинной линии и обычно используются вместо погонных параметров L, C, R, G.
В линии без потерь =0 и поэтому коэффициент распространения принимает мнимое значение
(10.11)
а волновое сопротивление – вещественное значение, которое, как и характеристическое сопротивление колебательного контура обозначают символом 
. (10.12)
В линии с малыми потерями выполняются условия 
и 
. Учитывая малость этих параметров, выполним разложение формул (10.9) и (10.10) в ряд. После того как удержим в ряде два первых члена, получим приближенные выражения 
(10.13)
(10.14)
Из формулы (10.13) можно видеть, что в линии с малыми потерями 
и 
.
Если в линии выполняются условия 
(условия Хевисайда), то 
В этом случае сигнал по линии передается без искажений: 
, волновое сопротивление не зависят от частоты, а постоянная распространения 
линейно зависит от частоты, что легко проверить подстановкой условия Хевисайда в (10.9) и (10.10).