 |
|
Построение экономико-математической модели задачи.
Поскольку в задаче необходимо определить объемы производства для продажи продукции, то введем обозначения переменных задач: суточные объемы производства первой продукции х1 и вторую х2 тонн соответственно.
Критерием, по которому определяется степень достижения поставленной цели, является доход F от реализации продукции, который должен быть максимально возможным. Следовательно, целевая функция будет иметь вид:
F(X) = (2х1 +3х2) mах.
Решение любой практической задачи осуществляется в рамках ограниченных ресурсов. В данном случае необходимо учесть ограничения на расход сырья, запасы которого на фабрике не бесконечны, а также ограничения на спрос продукции. Математически эти ограничения можно записать следующим образом:
х1 +2х2 <=6 запасы сырья А,
2х1 + х2 <= 8 запасы сырья В,
х2 – х1<=1.5 соотношение спроса на продукции,
х2<=2
Кроме того, известно, что план фирмы предусматривает обязательный выпуск продукции указанных видов, производство которых за всю историю не опускалось ниже, чем х1>=0.25 т и х2 >= 0,5 т. Таким образом, в целом экономико-математическую модель задачи можно представить в таком виде. Определить суточные объемы производства продукции х1 и х2 обеспечивающие заданными условиями- ограничениями:
х1 +2х2 <=6
2х1 + х2 <= 8
х2 – х1<=1,5
х2 <= 2
х1>=0,25
х2 >= 0,5
Максимально возможный доход от продажи продукции в соответствии с целевой функцией
F(X) = (2х1 +3х2) mах
Полученная модель является задачей линейного программирования, так как все входящие в нее функции линейны. Решение данной задачи возможно с использованием геометрического метода.
Решение.Построим на плоскости Х1ОХ2 многоугольник допустимых решений задачи. Для этого в неравенствах системы ограничений знаки неравенств заменим на знаки точных равенств:
Х1 + 2х2 <= 6 х1 + 2х2 = 6
2х1 + х2 <= 8 2х1 + х2= 8
х2 – х1<=1,5 х2 – х1 =1,5
х1>=0,25 х1 =0,25
х2 >= 0,5 х2 = 0,5
F(X) = (2х1 +3х2) F(X) = (2х1 +3х2) = 0
Построив полученные граничные прямые, найдем соответствующие полуплоскости допустимых значений переменных и их пересечение (рис. 3.6).
Направление стрелок от каждой граничной прямой определяется путем непосредственной подстановки в неравенство координат произвольно взятой точки, например (1;1), и при удовлетворении данного неравенства направляем стрелки в сторону контрольной точки, в противном случае - наоборот. Полученное пространство решений есть многоугольник АВNДЕK. Угловые точки многоугольника решений имеют следующие координаты: А(0,25;0,5), В(0,25; 1,75), N(0,5;2), Д(2,2), Е(3,3;1,3), K(3,75;0,5).
Для нахождения минимума и максимума целевой функции строим начальную прямую и вектор ОСсС(2;3). Координатами вектора является ОС является коэффициенты целевой функции при переменных. Для построения графика функции задаем произвольное значение F(Х). Если F = 0, то прямая проходит через начало координат и перпендикулярна векторуОС.
Построенную прямую F=0 перемещаем параллельно самой себе в направлении и противоположном направлении вектора ОСдо тех пор, пока она не коснется последней крайней (угловой) точки многоугольника решений. Координаты указанной точки является точкой максимума или минимума.
Рис. 3.6
По графику точкой минимума является точка А с координатами х1=0,25 и х2=0,5. Затем определяем минимальное значение
F(А)min = 2 *0.25 + 3* 0,5 = 2.
Максимальное значение F(Х) будет в точке Е. Так как точка Е получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то для определения ее координат решим систему уравнений:
х1+ 2х2=6
2х1 + х2 = 8
х1=3,3
х2= 1,3
Тогда максимальное значение
Fmax(Е)= 2* 3,3 + 3* 1,3= 10,7
Таким образом, суточной объем производства первой продукции должен быть равен 3,3 т, а второй - 1,3 т. Доход от продажи в этом случае будет максимальным и составит 10,7 тыс.тг.
В условиях рынка следует предусмотреть динамический характер условий производства и продажи продукции. Например, важно знать, как повлияет на оптимальное решение увеличение или уменьшение спроса, изменение рыночных цен или запасов исходного сырья. Следовательно, после определения оптимального решения с целью учета фактической картины необходимо провести анализ модели на чувствительность, позволяющий определить зоны устойчивого функционирования предприятия на рынке сбыта продукции.
Анализ изменений запасов ресурсов.Рассмотрим как влияет на оптимальное решение изменение запасов ресурсов А и В. Возможны два варианта постановки этой задачи.
а) насколько можно увеличить запас некоторого ресурса А и В для улучшения полученного оптимального значения дохода от продажи продукции;
б) насколько можно уменьшить запас некоторого ресурса А и В при сохранении полученного оптимального значения дохода от продажи?
Эти задачи называют анализом модели на чувствительность к правой части (ограничений), так как величина запаса каждого ресурса записывается именно в правой части условий-ограничений. Ограничения линейной модели делятся на связывающие (активные) и не связывающие (неактивные).
Ресурс, соответствующий связывающему ограничению, являются дефицитным ресурсом, так как он используется полностью. Ресурс же, соответствующий не связывающему ограничению, является недефицитным ресурсом, так как он имеется в избытке. Поэтому при анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений определяют:
предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение;
предельно допустимое уменьшение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденное ранее оптимальное решение. Это особенно важно, если остатки недефицитного ресурса можно использовать для других целей.
В рассматриваемой задаче используемые запасы сырья А и В являются дефицитными ресурсами, поэтому последовательно рассмотрим сначала увеличение запасов сырья (ресурса) А.
а) На рисунке 3.7 видно, что при увеличении запаса этого ресурса прямая (1) перемещается вверх параллельно самой себе, при этом треугольник ДМЕ постепенно стягивается в точку М(3;2). В этом случае областью допустимых решений становится многоугольник АВNМК, а оптимальному решению соответствует точка М, а ограничения (2) и (4) становится связывающими.
Рис. 3.7. Изменение области допустимых решений от величины запасов
ресурса А.
В точке Мограничение (1) становится избыточным, поскольку любое дальнейшее увеличение запаса ресурса А не влияет ни на область допустимых решений, ни на оптимальное решение. Именно в этом и состоит отличие недефицитности ресурса от его избыточности: исключение избыточности ограничения не изменяет ни области допустимых решений, ни самого оптимального решения, в то время как исключение исходного ограничения, соответствующего дефицитному ресурсу, всегда изменяет область допустимых решений, но не всегда - оптимальное решение. Таким образом, объем сырья А нет необходимости увеличивать сверх того предельного значения, при котором соответствующее ему ограничение (1) станет избыточным, где прямая (1) пройдет через точку М, что и указывает на новое оптимальное решение.
Этот предельный уровень можно найти следующим образом. Сначала определяются координаты точки М, являющейся точкой пересечения прямых (2) и (4), которая находится из решения системы уравнений:
2х1 +х2 = 8
х2 = 2
Затем путем подстановки координат М(3;2) в левую часть ограничения (1) определяется максимально допустимый запас ресурса А. Следовательно, разумно увеличить запас сырья А на 0,5 т, при этом новое оптимальное значение целевой функции будет равно:
Fmax(M) = 2*3 + 3*2 = 12 тыс. тг.
б) Аналогично решается задача о целесообразности увеличения запасов дефицитного ресурса (сырья ) В в соответствующем ограничении (2) (рис. 3.8)
Новым оптимальным решением становится точка L, где пересекаются прямые (1) и (6), т.е.
Х1 + 2х2 = 6
их2 = 0,5.
Ри 3.8 Изменение области допустимых решений от величины
запасов ресурсов В
Очевидно, ее координаты х1 =5,их2 = 0,5. Причем запас сырья В можно увеличить до значения, равного 2х1 + х2 = 10+0,5 = 10,5 т,т.е. на2,5 т, тогда новое оптимальное значение целевой функции будет равно:
Fmax(L) = 2*5 + 3*0,5 = 11,5 тыс.тг.
в) Ограничение (3) –х1+х2<=1.5 представляет соотношение между суточным спросом на вторую и первую продукцию. В этом случае правую часть ограничения также можно уменьшить до тех пор, пока прямая ВN (3) не достигнет точки Е (рис. 3.9)
Рис. 3.9 Изменение области допустимых решений от
изменения соотношения спроса на продукцию
При этом правая часть ограничения (3) станет равной
-х1+х2=-3,3+1,3=-2т,
а само решение (3) может быть записано в виде:
-х1+ х2 <= -2илих1 – х2 >= 2
Полученный результат показывает, что если суточный спрос на первую продукцию будет превышать суточный спрос на вторую не менее чем на 2 т, ранее полученное оптимальное решение также не изменится.
г) Рассмотрим теперь решение задачи о возможности снижения запасов недефицитных ресурсов (т.е. об уменьшении правой части не связывающих ограничений, рис. 3.10).
Ограничение (4) х2<=2 задает уровень спроса на вторую продукцию. На рис. 3.10 видно, что прямую NД (4) можно опускать параллельно вниз до пересечения с точкой Е, не изменяя оптимального решения. Таким образом, при уменьшении спроса на вторую продукцию до величины х2=1,3, т.е на 2-1,3=0,7, оптимальность полученного ранее решения сохраняется.
Рис. 3.10 Изменение области допустимых решений от изменение
спроса на краску
Полученные результаты можно обобщить и представить в виде таблицы
Таблица 3
| Ресурс | Тип ресурса | Предельно допустимое изменение запаса ресурса Dbi | Предельное приращение оптимального значения DFi | Значение рi, тыс.тг/т |
| b1 | Дефицитный | Db1 = 7-6= 1 | DF1=12-10.7 = 1,3 | р1 =1,3 |
| b2 | Дефицитный | Db2 = 10,5 - 8=2,5 | DF2 =11,5-10,7=0,8 | р2=0,32 |
| b3 | Недефицитный | Db3 = -2-1,5=-3,5 | DF3=10,7-10,7=0 | р3=0 |
| b4 | Недефицитный | Db4 = 1,3-2=-0,7 | DF4=10,7-10,7=0 | р4=0 |