Здавалка
Главная | Обратная связь

Оптимальная смесь (задача о пищевом рационе)



Большой и важный класс линейной оптимизации составляют так называемые задачи о смесях. Такие задачи возникают при выборе способа смешения заданных ингредиентов для получения смеси с определенными свойствами. Смесь должна содержать требуемое количество компонентов, входящих в состав исходных ингредиентов. Стоимость ингредиентов известна. Обычно требуется получить смесь с наименьшими затратами. Задачи такого типа встречаются во многих отраслях промышленности.

За неизвестные управляемые переменные в модели оптимального смешения принимаются количества или доли ингредиентов, необходимые для приготовления смеси.

Простейшая модель оптимального смешения имеет вид: составить смесь минимальной стоимости.

F= c1x1 + c2x2 + ... + cnxn ,

компоненты которой удовлетворяют заданным условиям

ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn <= bi, i= 1, 2, ... m

где n- число исходных ингредиентов; m- число компонентов смеси; xj-количество j-го ингредиента, входящего в смесь; cj - стоимость единицы j-го ингредиента; aij- удельный вес i-го компонента в j-м ингредиенте; bi -максимально (или минимально) допустимое количество i-го компонента в смеси; F - целевая функция, определяющая стоимость затрат.

В качестве примера рассмотрим задачу о пищевом рационе. Допустим, что пищевой рацион составляется из набора продуктов питания Р1, Р2,..., Рn стоимостью с1, с2,...,сn за 1кг соответственно. Пусть 1 кг продукта каждого вида содержит аi1 г белка, аi2г жиров, аi3 г углеводов, аi4 микроэлементов, аi5 г витамина С, а также обладает энергетической ценностью аi6 килокалорий (i=1,2,...,m). Необходимо закупить такое количество продуктов, чтобы их стоимость была минимальна и составленный из них рацион в расчете на одного человека содержал не менее в1г белков, не менее в2 г жиров, не менее в3г углеводов, не менее в4 г микроэлементов, не менее в5г витамина С и не более в6килокалорий.

Перечисленные выше условия удобно записать в виде таблицы 1

Отметим, что отдельный элемент может не входить в состав какого-либо продукта и тогда соответствующее значение аij =0.

Запишем словесно сформулированную проблему в виде математической модели, т.е. составим соответствующие математические соотношения. Обозначим необходимое для одной порции покупаемое количество продуктов Р1, Р2, ... , Рn, в килограммах через Х = (х1, х2, ..., хn). Это управляемые переменные, которые надо выбрать таким образом, чтобы стоимость продуктов была минимальна. Стоимость продуктов будет

 

F(X)= c1x1 + c2x2 +... + cnxn (4.1)

Таблица 1 Параметры задачи об оптимальной смеси

 

  Продукты Элементы (г/кг) и энергетическая ценность (ккал/кг) белки жиры углев. микр.элемент витам. С ккал/кг Стои-мость
Р1 Р2 ... Рi ... РN а11 а21 ... аi1 ... аn1 а12 а22 ... аi2 ... аn2 а13 а23 ... аi3 ... аn3 а14 а24 ... аi4 ... аn4 а15 а25 ... аi5 ... аn5 а16 а26 ... аi6 ... аn6 c1 c2 ... ci ... cn
Содержание в рационе   b1   b2   b3   b4   b5   <= b6  

 

Рацион (согласно условию) должен содержать не менее в1 г белка, Суммарное количество белка, содержащееся в купленных продуктах, равно

a11x1 + a21x2 + ... + an1xn >= b1 (4.2)

Аналогично записываются ограничения для ряда остальных параметров, определяющих рацион жиры (i=2), углеводы (i=3), микроэлементы (i=4), и витамин С (i=5):

a1jx1 + a2jx2 + ... + anjxn >= bj, i = 2,3,4,5 (4.3)

Для выполнения требования по количеству килокалорий (i=6) в одной порции запишем соответствующее ограничение, имеющее вид

 

a16x1 + a26x2 + ... + an6xn <= b6 (4.4)

Условия (4.1)-(4.4) представляют собой систему ограничений - систему линейных неравенств, которой должно удовлетворять решение х1, х2,..., хn.

В этой задаче помимо ограничений (4.1)-(4.4) возникают так называемые естественные ограничения, состоящие в том, что управляемые переменные (количество хi) должны быть неотрицательны:

хj>=0, j = 1, 2, ... , n (4.5)

В итоге получаем линейную модель задачи о пищевом рационе:

определить количество продуктов Х = (х1, х2, ... , хn), стоимость - линейная целевая функция (4.1) - которых минимальна, F(X) min , при условии, что сами переменные хi удовлетворяют линейным неравенствам (4.2-4.5).

Поставленная задача является типичной задачей линейного программирования.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.