Оптимальная смесь (задача о пищевом рационе)
Большой и важный класс линейной оптимизации составляют так называемые задачи о смесях. Такие задачи возникают при выборе способа смешения заданных ингредиентов для получения смеси с определенными свойствами. Смесь должна содержать требуемое количество компонентов, входящих в состав исходных ингредиентов. Стоимость ингредиентов известна. Обычно требуется получить смесь с наименьшими затратами. Задачи такого типа встречаются во многих отраслях промышленности. За неизвестные управляемые переменные в модели оптимального смешения принимаются количества или доли ингредиентов, необходимые для приготовления смеси. Простейшая модель оптимального смешения имеет вид: составить смесь минимальной стоимости. F= c1x1 + c2x2 + ... + cnxn , компоненты которой удовлетворяют заданным условиям ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn <= bi, i= 1, 2, ... m где n- число исходных ингредиентов; m- число компонентов смеси; xj-количество j-го ингредиента, входящего в смесь; cj - стоимость единицы j-го ингредиента; aij- удельный вес i-го компонента в j-м ингредиенте; bi -максимально (или минимально) допустимое количество i-го компонента в смеси; F - целевая функция, определяющая стоимость затрат. В качестве примера рассмотрим задачу о пищевом рационе. Допустим, что пищевой рацион составляется из набора продуктов питания Р1, Р2,..., Рn стоимостью с1, с2,...,сn за 1кг соответственно. Пусть 1 кг продукта каждого вида содержит аi1 г белка, аi2г жиров, аi3 г углеводов, аi4 микроэлементов, аi5 г витамина С, а также обладает энергетической ценностью аi6 килокалорий (i=1,2,...,m). Необходимо закупить такое количество продуктов, чтобы их стоимость была минимальна и составленный из них рацион в расчете на одного человека содержал не менее в1г белков, не менее в2 г жиров, не менее в3г углеводов, не менее в4 г микроэлементов, не менее в5г витамина С и не более в6килокалорий. Перечисленные выше условия удобно записать в виде таблицы 1 Отметим, что отдельный элемент может не входить в состав какого-либо продукта и тогда соответствующее значение аij =0. Запишем словесно сформулированную проблему в виде математической модели, т.е. составим соответствующие математические соотношения. Обозначим необходимое для одной порции покупаемое количество продуктов Р1, Р2, ... , Рn, в килограммах через Х = (х1, х2, ..., хn). Это управляемые переменные, которые надо выбрать таким образом, чтобы стоимость продуктов была минимальна. Стоимость продуктов будет
F(X)= c1x1 + c2x2 +... + cnxn (4.1) Таблица 1 Параметры задачи об оптимальной смеси
Рацион (согласно условию) должен содержать не менее в1 г белка, Суммарное количество белка, содержащееся в купленных продуктах, равно a11x1 + a21x2 + ... + an1xn >= b1 (4.2) Аналогично записываются ограничения для ряда остальных параметров, определяющих рацион жиры (i=2), углеводы (i=3), микроэлементы (i=4), и витамин С (i=5): a1jx1 + a2jx2 + ... + anjxn >= bj, i = 2,3,4,5 (4.3) Для выполнения требования по количеству килокалорий (i=6) в одной порции запишем соответствующее ограничение, имеющее вид
a16x1 + a26x2 + ... + an6xn <= b6 (4.4) Условия (4.1)-(4.4) представляют собой систему ограничений - систему линейных неравенств, которой должно удовлетворять решение х1, х2,..., хn. В этой задаче помимо ограничений (4.1)-(4.4) возникают так называемые естественные ограничения, состоящие в том, что управляемые переменные (количество хi) должны быть неотрицательны: хj>=0, j = 1, 2, ... , n (4.5) В итоге получаем линейную модель задачи о пищевом рационе: определить количество продуктов Х = (х1, х2, ... , хn), стоимость - линейная целевая функция (4.1) - которых минимальна, F(X) min , при условии, что сами переменные хi удовлетворяют линейным неравенствам (4.2-4.5). Поставленная задача является типичной задачей линейного программирования.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|