Главная | Обратная связь

Распределение ресурсов

 

Допустим, для производства продукции Р₁, Р₂, ... , Р_n, используются некоторые ресурсы (сырье, оборудование, финансы, рабочая сила) R₁, R₂, ..., R_m в количествах в₁, в₂, ... , в_m. Стоимость единицы ресурса равна d₁, d₂, ... , d_m тенге. Производство продукции Р_jограничено спросом, который оценивается в количестве S_j штук (j=1,2,.. n). Единица продукции Р_i может быть продана по цене с_j и для ее производства необходимо а_ij единиц ресурса R_i (i=1,2,..., m).

В этой ситуации возникает естественный вопрос: какое количество продукции необходимо выпустить, чтобы получить максимальную прибыль при ее реализации?

Для удобства запишем сформулированные условия в виде таблицы 2. Если i-й ресурс не используется для изготовления продукции Р_j, то а_ij =0.

Опишем данную ситуацию в виде математической модели. Обозначим через Х=(х₁, х₂,...,х_n) количество единиц (управляемые переменные) выпускаемой продукции Р₁, Р₂,..., Р_n, которое следует подобрать так, чтобы прибыль от реализации продукции была максимальна.

 

Таблица 2 Параметры задачи о распределении ресурсов

 

Ресурсы	Ресурсы R1 R2 ... Rj ... Rn	Стои-мость	Спрос
P1 P2 ... Pi ... Pm	а11 а12 ... а1i ... а1n	а21 а22 ... а2i ... а2m	... ... ... ... ... ...	аj1 аj2 ... аji ... аjn	... ... ... ... ... ...	аm1 аm2 ... аmi ... аnm	c1 c2 ... ci ... cn	S1 S2 ... Si ... Sn
Количество ресурса	b1	b2	...	bj	...	bm
Стоимость ресурса	d1	d2	...	dj	...	dm

 

Ясно, что не надо выпускать продукции больше, чем диктуется спросом, т.е. х₁<=S₁, х₂<=S₂, ... х_n<=S_n, (4.6)

Далее, например, количество ресурса R₁, израсходованного на производство всех рассматриваемых видов продукции Р₁, Р₂, ... ,Р_n, будет равно

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ + ... + а_1nх_n

Учитывая, что количество ресурса R₁ равно b₁, получим ограничение, определяющее расход ресурса R₁.

 

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ + ... + а_1nх_n <=b₁ (4.7)

Аналогично записываются ограничения, определяющие фактический расход любого из ресурсов R_j, т.е.

 

а_i1х₁ + а_i2х₂ + а_i3х₃ + ... + а_inх_n <=b_i , i=1,2, ... , m. (4.8)

Таким образом, учет ограниченности ресурсов приводит к системе линейных неравенств для переменных х₁, х₂,...,х_n.которую можно записать в более компактной форме

_n

е a_ij x_j <= b_i , i=1,2, ... , m. (4.9)

^j=1

Очевидно, что количество единиц производимой продукции не может быть отрицательным числом, поэтому систему ограничений (4.6) и (4.9) необходимо дополнить естественными ограничениями

х₁>=0, х₂>=0, ... х_n>=0 (4.10)

Найдем зависимость прибыли f от объема выпускаемой продукции Х. Прибыль F(X), получаемая от реализации продукции, определяется разностью между ценой произведенной продукции и ее себестоимостью. Цена произведенной продукции равна ес_jx_j, ее себестоимость, зависящая от расхода и стоимости использованных ресурсов, имеет вид еd_i еa_ijx_j(внутренняя сумма определяет объем использованного ресурса R_i) Поэтому прибыль F(X) от реализации всей продукции Х есть

_{n m n n m}

F(X) = ес_jx_j - еd_i еa_ijx_j = е ( c_j - еa_ij d_i)x_j (4.11)

^{j=1 i=1 j=1 j=1 i=1}

где еa_ij d_i имеет смысл себестоимости единицы продукции Р_i.

В итоге получаем математическую форму записи рассматриваемой задачи о распределении ресурсов: определить количество выпускаемой продукции х₁, х₂,...,х_n которое удовлетворяет линейным неравенствам (4.6), (4.9)и (4.10) и обеспечивает максимум прибыли - линейной целевой функции (4.11) F(X) max.