Главная | Обратная связь

Экономико-математический анализ оптимальных решений

Исследования экономических процессов с помощью методов моделирования являются сложным процессом, который предусматривает выполнение этапов: анализ результатов и корректировка модели, а также принятие решений для исследуемой системы.

Однако для принятия решения по планированию или управлению часто недостаточно иметь результаты решения первоначальной задачи. В практике принятия управленческих решений необходимо исследовать систему всесторонне, во взаимосвязи и зависимости между элементами ее составляющими. Этому способствует экономико-математический анализ оптимальных решений. Методы такого анализа достаточно разработаны. Экономико-математический анализ оптимального плана предусматривает вариантные расчеты, двойственную оценку эффективности ресурсов в условиях конкретной задачи, коэффициент замещения и т.д.

Экономико-математический анализ на основе вариантных расчетов осуществляется при неизменной структуре самой модели, но с изменением численной величины конкретных показателей модели, как a_ij- коэффициенты затрат, оценки выпускаемой продукции в целевой строке - c_j, а также объемов ограничений ресурсов или объемов производства- b_i и при изменении элементов самой системы.

Вариантные расчеты рассмотрим на условном примере.

Согласно оптимальному плану необходимо под свеклу 113,29 га, а под подсолнечник 466,75 га. Посев зерновых культур в условиях данного хозяйства при заданной прибыли, получаемой с 1га -200 тг, невыгоден. При указанном сочетании посевов хозяйство получит максимальную прибыль, которая составит 179678 тг. При этом в хозяйстве останутся недоиспользованными трудовые ресурсы 14 чел.- дни.

Допустим, что при постановке рассматриваемой задачи по условиям рынка площади посева подсолнечника нужно ограничить. Представим, что площадь посева подсолнечника должна быть не более 300 га. Тогда развернутая числовая математическая задача может быть представлена следующей системой

(5.20)

Zmax = 200Х₁ + 350Х₂ + 300Х₃ (5.21)

Критерий оптимальности остается неизменным, только площадь посева одной культуры ограничили сверху. Таким образом, решая задачу по симплекс таблицы получим также оптимальный план (табл. 4)

По второму оптимальному плану необходимо под зерновых отвести 156га, а под свеклы 113,7 га и под подсолнечника верхнюю границу 300 га.

При такой структуре посевов хозяйство получит 160995 тг. прибыли, тогда неиспользованной остается пашня в 10,3 га.

Приведенные выше примеры не исчерпывают множества возможных вариантов решения задачи. Таким образом можно изменить объемы ресурсов и их затраты и т.д. В настоящее время широко распространены персональные компьютеры и на все типы ЭВМ имеются пакеты прикладных программ по симплекс-методу, поэтому выше изложенные примеры или вариантные расчеты получаются на ЭВМ. Вариантные расчеты, таким образом, в наибольшей степени соответствуют термину «модельные эксперименты».

С помощью ЭВМ исследователь может не только изучать состояние системы, но и предвидеть ее поведение при изменениях количественных характеристик, описывающих эту систему.

Кроме вариантных расчетов экономико-математический анализ оптимального плана осуществляется с помощью двойственных оценок.

Посредством двойственных оценок можно определить роль каждого ограничения в задаче, а также область устойчивости найденного оптимального решения. В качестве примера рассмотрим предыдущую задачу .Для любой задачи линейного программирования существует другая двойственная задача . По поводу двойственной задачи имеется достаточно литературы. Поэтому сразу напишем двойственную задачу для исходной задачи (5.20-5.21). Только отметим, что здесь переменными величинами могут быть оценки у_i- приписываемые каждому виду ресурсов. Они должны быть такими, чтобы общая сумма всего имеющегося количества ресурсов была минимальной, но при условии, что суммарная оценка ресурсов, расходуемых на единицу любого вида продукции, будет не меньше, чем цена за эту единицу.

Приведем двойственную задачу.

м У₁+ У₂ + 1,7 У₃ і 200

н У₁+ 20У₂ + 4 У₃ і350 (5.22)

о У₁+ 0,9У₂ + 1,6У₃ і300

Fmax=580У₁+2700У₂+1200У₃ (5.23)

У₁ і 0, У₂ і 0 , У₃ і 0. (5.24)

В задаче У₁, У₂, У₃ обозначают условные цены соответственно 1га пашни, 1 чел.дни. и 1 ц.д.в. удобрений в условиях данного хозяйства.

В литературе известно, что из двух взаимодвойственных задач достаточно решить одну и при этом будет получено решение другой. Так как у нас уже решена исходная задача, то значения двойственных переменных оптимального плана задачи (5.22-5.24) могут быть получены из последней строки симплексной таблицы 3. Тогда

У₁=278,7, У₂=0, У₃=12,3.

Целевая функция двойственной задачи, согласно первой теореме двойственности принимает на оптимальном плане минимальное значение, совпадающее с максимальным значением целевой функции исходной задачи.

Поэтому Fmin =179678 тг.

Получив решение двойственной задачи можно определить обусловленные оценки имеющихся ресурсов.

Значение У₁=278,7 показывает, что для данного хозяйства наиболее дефицитным является пашня. В случае неиспользования 1га пашни хозяйство недополучит прибыли в сумме 278.7 тг. И наоборот, увеличение использования пашни на 1га позволит в условиях данного хозяйства увеличить прибыль на 278,7 тг.

Нулевое значение переменной У₂ говорит о том, что трудовые ресурсы имеются в избытке, это естественно когда везде безработица. Увеличение наличия трудовых ресурсов не принесет прибыли и из решения видно, что недоиспользование трудовых ресурсов составит 14 чел. -дней.

Значение У₃=12,3 тг. показывает уменьшение прибыли, если хозяйство недоиспользует 1ц.д.в. удобрений и наоборот.

Из последней таблицы видно, что ресурсы, как пашня и удобрения, используются полностью, поскольку им соответствуют отличные от нуля значения двойственных оценок.

Теперь рассмотрим более подробно последнюю симплекс таблицу.

Коэффициенты столбца Х₁ показывают, что в случае введения в посевы 1га зерновых при сохранении неизменными всех других условий, посевы свеклы увеличиваются на 0,04га, а подсолнечника на 0,95га, при этом неиспользованных трудовых ресурсов увеличится на 0,75 чел. дней. Величина прибыли в этом случае сократится на 102,1тг.

Недоиспользование 1га пашни (Х₄) приводит к следующим изменениям в распределении ресурсов: на 1,75 га сокращается площадь под подсолнечник, на 0,7 га увеличится площадь под свеклу. За счет этого на 12,5 чел.дней больше используются трудовые ресурсы. Величина прибыли уменьшится на 278,7 тг.

По столбцу Х₆ уменьшение использования удобрения на 1ц.д.в. вызывает уменьшение общей прибыли на 12,3 тг.

При этом, чтобы сохранить в данных условиях оптимальность плана, необходимо площадь свеклы уменьшить на 0,44га, а площадь подсолнечника увеличить на 0,47 га. И эти изменения повлекут за собой увеличение трудовых ресурсов на 8,37 чел. дней.

Дальше рассмотрим устойчивость оптимального плана. По оптимальному плану возделывания зерновых невыгодно при получении с 1га. 200тн. прибыли.

ПеременнаяХ₁ не входит в базис, ее оценка

 

Z₁-С₁=Z₁-200=102,1 (5.25)

Для того, чтобы переменная Х₁ была включена в базис, необходимо назначить Сў₁ так, чтобы оценка этой переменной стала величиной неположительной, т.е.

Z₁ -Zў₁ Ј0

Используя соотношение (5.25), получим

 

Сў₁ і 102,1+200=302,1

Таким образом, если прибыль, получаемая с 1га зерновых будет превышать 302,1 тг., то только тогда будет выгодно возделывать зерновые.

Теперь рассмотрим, как может изменяться прибыль с 1га свеклы Сў₂, чтобы производство этой культуры оставалось выгодным .

План будет оптимальным, если Z_j-Cў_j і 0 (j=1, 4, 6)

м 0(-0.75) +300·0.95 + Сў₂(-0.04)-200 і 0

н 0· 12.5 +300·1.75 + Сў₂ (-0.7)- 0 і 0 (5.26)

о 0 (-8.37)+300·(-0.47)+ Сў₂ ·0.44-0 і 0

ОтсюдаСў₂ должно удовлетворять условиям

320 Ј С₂ Ј 750

Производство свеклы будет оптимальным, если прибыль с 1га будет ниже на 30 тг., чем при первоначальном варианте. Это говорит об устойчивости оптимального плана.

Проверим на устойчивость оптимального плана на подсолнечнике (Х₃)

Z₃ - Сў_{3 і} 0 (j= 1, 4, 6.)

м 0(0.75) + Сў₃ ·0.95 + 350(-0.04)-200 _і 0

н 0·12.5 + Сў₃ ·1.75 +350 (-0.7) - 0 _і 0 (5.27)

о 0(-8.37) + Сў₃ (- 0.47)+ 350 (0.44) - 0 _і 0

Отсюда,140Ј Сў₃ Ј 328

Аналогично границы значения прибыли с 1га подсолнечника показывают, что производство этой культуры остается выгодным

Таким образом, экономико-математический анализ оптимального плана предусматривает вариантные расчеты, а также использование двойственных оценок как инструмента измерения эффективности приращения объемов ресурсов в границах устойчивости плана, т.е. в конкретных условиях данной задачи. С их помощью выявляются «узкие места», они указывают меру дефицитности или же избыточности ресурсов в отношении принятого в задаче показателя критерия оптимизации. Кроме того, с помощью коэффициентов замещения определяются как границы устойчивости плана, так и его новая структура при изменении основных условий функционирования системы.

Иногда разработка моделей ограничивается теоретической стороной, недостаточно учитывается тот факт, что, как правило, математическая модель не может быть применена к решению конкретной практической проблемы в стандартной форме, и необходима ее спецификация, базирующаяся на глубоком изучении моделируемого процесса с помощью и при участии специалистов конкретной области. При этом нужно, чтобы эта специфика учитывалась на всех стадиях внедрения задач и осуществлялась непрерывная проверка и корректировка. Поэтому к оптимизационным задачам зачастую предъявляются требования однозначного, окончательного и исчерпывающего результата. В этом случае целесообразно рассматривать возможность разработки более простых моделей с приданием им адаптивных свойств- оперативного включения новых факторов, а учет связей между моделями передать подготовленному пользователю, работающему в режиме диалога. Также качественно новые модели смогут, вероятно, описать более широкий спектр реальных процессов, позволяя преодолеть излишнюю жесткость (малую вариантность предлагаемых решений) существующих постановок. В условиях функционирования в реальном масштабе времени решающей становится несходимость к оптимуму, а быстрота получения ответа с достаточной для практики точностью и возможностью оценить порядок погрешности. Использование таких моделей позволит, по видимому, успешно сочетать новые методы с традиционными процедурами планирования, технико-экономическим анализом.

Таким образом, совершенствование системы планирования отрасли сельского хозяйства на основе применения математических методов и средств вычислительной техники особенно эффективно, если разработать и использовать систему математических моделей, охватывающих все стороны маркетингового исследования деятельности агробизнеса.