Главная | Обратная связь

Математичні моделі лінійних динамічних систем

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

До виконання розрахункового завдання

«Побудова математичних моделей динамічних систем

Та розв’язання задачі модального керування»

з курсу «Теорія керування»

для студентів напрямків 6.040301 «Прикладна математика»,

6.040302 «Інформатика» та 6.040303 «Системний аналіз»

 

Затверджено

редакційно-видавничою

радою університету,

протокол № від

 

 

Харків НТУ «ХПІ»

Методичні вказівки до виконання розрахункового завдання «Побудова математичних моделей динамічних систем та розв’язання задачі модального керування» з курсу «Теорія керування» для студентів напрямків 6.040301 «Прикладна математика», 6.040302 «Інформатика» та 6.040303 «Системний аналіз» / уклад. Ю.І. Дорофєєв, О.В. Костюк. – Харків: НТУ «ХПІ», 2012. – 44 с.

 

 

Укладачі: Ю.І. Дорофєєв

О.В. Костюк

 

 

Рецензент Л.М. Любчик

 

 

Кафедра системного аналізу і управління

Кафедра комп’ютерної математики і математичного моделювання

 

 

ВСТУП

 

Метою виконання розрахункового завдання є придбання студентами навичок побудови математичних моделей лінійних динамічних систем, перетворення моделей, дослідження їх часових і частотних характеристик, а також розв’язання задачі модального керування динамічними об'єктами. Побудова та дослідження моделей динамічних систем є необхідним етапом вирішення різноманітних задач аналізу і синтезу систем автоматичного керування.

В теперішній час для аналізу і проектування систем керування застосовуються спеціалізовані пакети програм. Одним із широко використовуваних пакетів є програмний комплекс MATLAB, вироблений фірмою MathWorks, Inc – математична лабораторія, призначена для різноманітних технічних обчислень. До складу MATLAB включений набір пакетів розширення для різноманітних областей комп'ютерної математики. Специфічні команди і процедури, призначені для розв'язання задач теорії керування, об'єднані в Control System Toolbox, при реалізації якого використані принципи об'єктно-орієнтованого програмування. Середа імітаційного моделювання Simulink, яка також входить до складу MATLAB, дозволяє бистро і наочно синтезувати моделі різноманітних динамічних систем, а також виконувати чисельне моделювання.

Дане розрахункове завдання призначено для студентів напрямків 6.040301 «Прикладна математика», 6.040302 «Інформатика» та 6.040303 «Системний аналіз» і спрямовано на набуття практичних навичок використання сучасних програмних засобів для розв'язання задач аналізу та синтезу систем керування лінійними динамічними об'єктами.

ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Математичні моделі лінійних динамічних систем

 

Динамічні системи знайшли широке застосування в різних областях людської діяльності. Вони характеризуються залежністю використовуваних змінних від часу, а також залежністю вихідного сигналу в окремі моменти часу від передісторії вхідного сигналу.

Оскільки для моделювання систем і процесів використовуються математичні моделі, розглянемо конкретні форми математичного опису динамічних систем різними математичними формалізмами. Для математичного опису лінійних систем застосовуються такі способи:

· диференціальні рівняння;

· моделі в просторі станів;

· моделі в змінних «вхід-вихід» (передавальні функції).

Перші два способи називаються часовими, оскільки вони описують поведінку системи в часовій області і відображають внутрішні зв'язки між сигналами. Передавальні функції відносяться до частотних способів опису, оскільки безпосередньо пов'язані з частотними характеристиками системи і відбивають тільки зв'язки між вхідними і вихідними сигналами.

Частотні способи опису дозволяють застосовувати для аналізу і синтезу систем алгебраїчні методи, що часто спрощує розрахунки. З іншого боку, для автоматичних обчислень більш придатні методи, засновані на моделях в просторі станів, оскільки вони використовують обчислювально стійкі алгоритми лінійної алгебри.

Вихідні рівняння динаміки об'єктів, які будуються на основі законів фізики, мають вигляд нелінійних диференціальних рівнянь. Для наближеного аналізу і синтезу зазвичай проводять їх лінеаризацію в околі сталого режиму і отримують лінійні диференціальні рівняння.

Лінійне рівняння

можна записати в операторній формі

або

де – вхідний сигнал, – вихідний сигнал, – оператор дифе­ренціювання, і – операторні поліноми.

Передавальна функція (ПФ) лінійної стаціонарної системи від комплексної змінної визначається як відношення перетворення Лапласа вихідного сигналу до перетворення Лапласа вхідного сигналу при нульових початкових умовах

Передавальна функція збігається з відношенням операторних поліномів при заміні змінної на .

ПФ в середовищі MATLAB вводиться у вигляді відношення двох поліномів від комплексної змінної . Поліноми зберігаються як масиви коефіцієнтів, записаних у порядку убування ступенів. Наприклад, ПФ вводиться наступним чином[1]:

>> numerator = [2 4]

numerator =

2 4

>> denominator = [1 0 1.5 1]

denominator =

1.0000 0.0000 1.5000 1.0000

>> system = tf ( numerator, denominator )

Transfer function:

2 s + 4

------------------

s^3 + 1.5 s + 1

або відразу, без попередньої побудови чисельника і знаменника:

>> system = tf ( [2 4], [1 0 1.5 1] );

В робочому середовищі MATLAB створюється об'єкт класу tf, який описує передавальну функцію. Крапка з комою в кінці команди забороняє вивід результатів на екран.

Для опису багатозв'язних систем найбільш адекватними є моделі в просторі станів. Стан динамічної системи визначається найменшим набором параметрів, які необхідно задати в початковий момент для того, щоб правильно передбачити подальшу поведінку системи при відомому вхідному впливі. Якщо, наприклад, розглядається система диференціальних рівнянь -го порядку, то для отримання однозначного і правильного рішення треба розташовувати числом змінних стану, яке дорівнює .

Загального визначення поняття стану системи не існує, так як для кожної системи воно різне. Але вибирають змінні стану так, щоб вони мали певний фізичний сенс. При цьому вибір змінних стану не є однозначним. Це говорить про те, що для одного і того ж об'єкта можуть бути обрані різні набори змінних стану, а значить і різні описи об'єкта, тобто одна і та ж система може мати декілька моделей у просторі станів.

Модель динамічної системи в просторі станів пов'язана із записом диференціальних рівнянь в стандартній формі Коші (у вигляді системи рівнянь першого порядку):

(1.1)

де – вектор змінних стану розміру , – вектор вхідних сигналів (вектор управління) розміру , – вектор вихідних сигналів разміру , – матриця динаміки системи розмірності , – матриця входів розмірності , – матриця виходів розмірності , – матриця обходів розмірності .

Наприклад, модель у просторі станів, яка визначається набором матриць , , , вводиться наступним чином:

>> A = [-1 -2; 3 4];

>> B = [5; 6];

>> C = [7 8 9];

>> D = 0;

>> system = ss ( A, B, C, D );

Для перетворення передавальної функції в модель у просторі станів використовується команда

>> tf_system = ss ( system );

Однак, модель у просторі станів можна побудувати лише для тих передавальних функцій, для яких виконується умова фізичної реалізації, тобто у яких ступінь чисельника не вище, ніж ступінь знаменника.

Розглядаючи різні форми подання рівнянь в просторі станів, виділяють довільні (коли змінні стану вибираються без накладення на них будь-яких спеціальних вимог) і стандартизовані форми, до яких відносяться:

1) канонічна діагональна форма, яка призводить до зручної діагональної матриці динаміки, у якої елементами головної діагоналі є полюси переда­вальної функції системи (власні числа матриці динаміки): ;

2) нормальна форма запису рівнянь стану, коли в якості змінних стану вибирають вхідний сигнал і його похідні, являє собою, по суті, опис системи у фазовому просторі. Фазові координати виступають як змінні стану (і навпаки). У цьому випадку матриця динаміки має вигляд

.

Таким чином, стандартизовані форми зображення систем в просторі станів дозволяють скоротити обсяги обчислень при моделюванні за рахунок більш простого виду матриць динаміки систем.