 |
|
ВАРІАНТИ РОЗРАХУНКОВОГО ЗАВДАННЯ
Зміст завдання.
1. Знайти передавальну функцію об'єкта керування.
2. Побудувати графік перехідної характеристики об'єкта при нульових початкових умовах і дослідити вплив першого варійованого параметра на вид характеристики.
3. Побудувати графік логарифмічної амплітудно-частотної характеристики об'єкта і дослідити вплив другого варійованого параметра на вид характеристики.
4. Вирішити задачу реалізації об'єкта в просторі станів у вигляді канонічної нормальної форми.
5. Нарисувати структурну схему отриманої реалізації.
6. Побудувати графік руху об'єкта при заданих ненульових початкових умовах.
7. Перевірити виконання умови керованості для заданого об’єкта.
8. Вирішити задачу модального керування об'єктом так, щоб виконувалися наступні вимоги до якості перехідного процесу в замкненій системі:
а) точність дорівнює заданій величині 
;
б) тривалість перехідного процесу не перевищує задану величину 
;
в) коливальність дорівнює заданій величині 
.
9. Побудувати графік перехідного процесу в замкненій системі.
Таблиця 2.1 – Досліджувані параметри та значення показників якості
| № варіанта | Перший варійований параметр | Другий варійований параметр |
Точність
| Тривалість перехідного процесу
|
Коливальність
|
Довжина маятника 
| Довжина маятника
| 0,1° | 10 сек | 
| |
Ємність конденсатора 
| Опір резистора 
| 0,01 В | 2 сек |
| – | Довжина маятника
| 0,1° | 5 сек | ||
| Опір резистора
| Індуктивність котушки 
| 0,01 В | 10 сек | ||
Маса вантажу 
| Жорсткість підвіски 
| 1 см | 10 сек |
| |
| Опір резистора
| Ємність конденсатора
| 0,1 В | 10 сек | ||
Щільність газу 
| Жорсткість пружини
| 0,01° | 30 сек |
| |
| Індуктивність котушки
| Опір резистора
| 0,01 В | 2 сек | ||
Відстань між опорами 
| Маса вантажу
| 1 см | 30 сек |
| |
| Ємність конденсатора
| Опір резистора
| 0,01 В | 2 сек |
| |
| Жорсткість пружини
| Маса вантажу
| 0,01° | 20 сек |
| |
| Ємність конденсатора
| Опір резистора
| 0,01 В | 10 сек |
| |
Площа
основи 
| Щільність пробки 
| 0,1 см | 2 сек |
| |
| Ємність конденсатора
| Опір резистора
| 0,01 В | 5 сек | ||
| Точкова маса
| Радіус кільця
| 10 см | 10 сек | ||
Опір резистора 
| Ємність конденсатора 
| 0,1 В | 5 сек |
| |
| Маса поршня
|
Відстань
| 1 см | 5 сек |
| |
Опір резистора 
| Ємність конд-ра
| 0,1 В | 10 сек |
|
Варіант 1.
Об'єктом керування є математичний маятник, довжина якого 
м. Нехай 
– це кут відхилення маятника від строго вертикального положення в момент часу 
(див. рис. 2.1).
Рисунок 2.1 – Схема математичного маятника
При малих відхиленнях від положення рівноваги рух маятника описується наступним лінеаризованим диференціальним рівнянням:
де 
– прискорення вільного падіння, 
– керуючий вплив.
У початковий момент часу відхилення від положення рівноваги становить 
°.
Варіант 2.
Об'єктом керування є 
- ланка, у якому опір резистора дорівнює 
кОм, а ємність конденсатора 
мкФ. Принципова схема об'єкта наведена на рис. 2.2.
Аналіз процесів в електричних ланцюгах дозволяє встановити, що падіння напруги на опорі дорівнює різниці між вхідною і вихідною напругами 
Рисунок 2.2 – Принципова схема динамічної системи « - ланка»
Напруга 
визначає струм 
Заряд конденсатора визначається рівнянням 
Напруга на конденсаторі, яка визначається його зарядом, є виходом даної системи 
Таким чином, наведена схема забезпечує вироблення вихідної напруги, яка описується таким диференціальним рівнянням:
В початковий момент часу вхідна напруга дорівнює 
В.
Варіант 3.
Об'єктом керування є перевернутий маятник з переміщуваною точкою опори, схема якого наведена на рис. 2.3.
На рисунку прийняті наступні позначення: 
– величина кута відхилення маятника від вертикального положення в момент часу 
; 
– величина горизонтального зміщення точки опори в площині хитання маятника; 
м – довжина маятника. При малих відхиленнях рух маятника описується наступним лінеаризованим диференціальним рівнянням:
Рисунок 2.3 – Схема перевернутого маятника
де – прискорення вільного падіння.
У початковий момент часу відхилення від положення рівноваги становить 
°.
Варіант 4.
Об'єктом керування є 
- ланка, у якій опір резистора дорівнює 
Ом, а індуктивність котушки 
Гн. Принципова схема об'єкта наведена на рис. 2.4.
Аналіз процесів в електричних ланцюгах дозволяє встановити, що падіння напруги на індуктивності дорівнює різниці між вхідною і вихідною напругами 
Напруга 
визначає струм 
Струм 
створює падіння напруги на опорі , яка є виходом даної системи 
Таким чином, наведена схема забезпечує вироблення вихідної напруги, яка описується таким диференціальним рівнянням:
Рисунок 2.4 – Принципова схема динамічної системи « - ланка»
У початковий момент часу вхідна напруга дорівнює 
В.
Варіант 5.
Об'єктом керування є динамічна система, яка являє собою підресорений вантаж масою 
кг, прикріплений до колеса, яке рухається з постійною горизонтальною швидкістю, схема якої наведена на рис. 2.5.
Рисунок 2.5 – Схема динамічної системи «підресорений вантаж – колесо»
Диференціальне рівняння, що описує вертикальні коливання вантажу, має вигляд:
де 
кг/с2 – жорсткість пружної підвіски, – керуючий вплив.
У початковий момент часу відхилення від положення рівноваги становить 
см.
Варіант 6.
Об'єктом керування є 
- ланка, у якій опір резистора дорівнює 
кОм, а ємність конденсатора 
мкФ. Принципова схема об'єкта наведена на рис. 2.6.
Рисунок 2.6 – Принципова схема динамічної системи « - ланка»
Аналіз процесів в електричних ланцюгах дозволяє встановити, що падіння напруги на резисторі, яке є виходом даної системи, дорівнює різниці між вхідною напругою і напругою на конденсаторі 
:
Напруга визначає струм
Заряд конденсатора визначається рівнянням
Напруга на конденсаторі визначається його зарядом 
Таким чином, наведена схема забезпечує вироблення вихідної напруги, яка описується таким диференціальним рівнянням:
У початковий момент часу вхідна напруга дорівнює 
В.
Варіант 7.
Об'єктом керування є жорстка плоска пластинка довжиною 
м, яка знаходиться в потоці газу, швидкість якого 
м/с спрямована уздовж серединної площини пластинки у незбуреному стані рівноваги. При відхиленні пластинки виникають аеродинамічні тиски, що залежать від кута відхилення 
(див. рис. 2.7).
Рисунок 2.7 – Схема динамічної системи «пластина в потоці газу»
Нехай 
кг∙м2 – момент інерції пластинки відносно осі шарніра, тоді диференціальне рівняння руху буде мати вигляд:
де 
кг/с2 – коефіцієнт жорсткості пружини, 
м∙с2 – постійний аеродинамічний коефіцієнт, 
кг/м3 – щільність газу, 
м – відстань від осі шарніра, що визначає точку прикладення рівнодіючих аеродинамічних тисків на пластинку, – керуючий вплив.
У початковий момент часу відхилення від положення рівноваги становить 
°.
Варіант 8.
Об'єктом керування є 
- ланка, у якій опір резистора дорівнює 
кОм, а індуктивність котушки 
Гн. Принципова схема об'єкта наведена на рис. 2.8.
Рисунок 2.8 – Принципова схема динамічної системи « - ланка»
Аналіз процесів в електричних ланцюгах дозволяє встановити, що падіння напруги на індуктивності , яке є виходом даної системи, дорівнює різниці між вхідною напругою 
і напругою на резисторі :
Напруга визначає струм 
який створює падіння напруги на резисторі 
Таким чином, наведена схема забезпечує вироблення вихідної напруги, яка описується таким диференціальним рівнянням:
У початковий момент часу вхідна напруга дорівнює 
В.
Варіант 9.
Об'єктом керування є вертикальний невагомий пружний стрижень довжиною м з постійною жорсткістю перетину 
кг∙м3/с2. З кінцем стрижня пов'язаний зосереджений вантаж масою 
кг. Верхньою опорою стрижня служить нерухомий шарнір, а нижньою опорою - рухома втулка з шарикопідшипником (див. рис. 2.9).
 |
Рисунок 2.9 – Схема динамічної системи «стрижень – вантаж»
Стану рівноваги відповідає положення вантажу на вертикалі і прямолінійна форма осі стрижня. Нехай 
– горизонтальне відхилення вантажу від положення рівноваги в момент часу 
. Якщо вантаж відхиляється, то вісь балки вигинається і подальший рух описується наступним диференціальним рівнянням:
де 
м – відстань між опорами, – керуючий вплив.
У початковий момент часу відхилення вантажу від положення рівноваги становить 
см.
Варіант 10.
Об'єктом керування є 
- ланка, в якій індуктивність котушки дорівнює 
Гн, опір резистора дорівнює 
Ом, а ємність конденсатора 
мкФ. Принципова схема об'єкта наведена на рис. 2.10.
Аналіз процесів в електричних ланцюгах дозволяє встановити, що різниця між вхідною і вихідною напругою визначає сумарне падіння напруги
Рисунок 2.10 – Принципова схема системи « 
- ланка»
на індуктивності і опорі 
Напруга визначає струм який є однаковим для послідовно включених елементів ланцюга, тобто індуктивності і опору. Заряд конденсатора визначається рівнянням
Напруга на конденсаторі, яка визначається його зарядом, є виходом даної системи
Таким чином, наведена схема забезпечує вироблення вихідної напруги, яка описується таким диференціальним рівнянням:
У початковий момент часу вхідна напруга дорівнює 
В.
Варіант 11.
Об'єктом керування є динамічна система, яка складається з вантажу масою 
кг, пов'язаного з невагомою жорсткою балкою, один кінець якої закріплений на шарнірі, розташованому на нерухомій опорі (див. рис. 2.11).
Довжина балки дорівнює 
, де 
м, 
кг/с2 – коефіцієнт жорсткості пружини.
Нехай 
– це кут відхилення системи від положення рівноваги в
Рисунок 2.11 – Схема динамічної системи «вантаж-балка-пружина»
момент часу . Якщо система відхиляється, то її рух описується наступним диференціальним рівнянням:
де – керуючий вплив.
У початковий момент часу відхилення вантажу від положення рівноваги становить 
º.
Варіант 12.
Об'єктом керування є 
- ланка, в якій ємність конденсатора дорівнює 
мкФ, опір резистора дорівнює 
кОм, а індуктивність котушки дорівнює 
кГн. Принципова схема об'єкта наведена на рис. 2.12.
Рисунок 2.12 – Принципова схема динамічної системи « - ланка»
Аналіз процесів в електричних ланцюгах дозволяє встановити, що падіння напруги на резисторі і індуктивності, яке є виходом даної системи, дорівнює різниці між вхідною напругою і напругою на конденсаторі:
Напруга визначає струм: 
, який є однаковим для послідовно включених елементів ланцюга, тобто опору й індуктивності. Заряд конденсатора визначається рівнянням
Напруга на конденсаторі визначається його зарядом:
Таким чином, наведена схема забезпечує вироблення вихідної напруги, яка описується таким диференціальним рівнянням:
У початковий момент часу вхідний напруга дорівнює 
В.
Варіант 13.
Об'єктом керування є шматок пробки у формі паралелепіпеда висотою 
м з площею основи 
м2, який плаває у воді (див. рис. 2.13).
 |
Рисунок 2.13 – Схема динамічної системи «вода – пробка»
Щільність води дорівнює 
кг/м3, щільність пробки – 
кг/м3. Сила опору води пропорційна швидкості руху пробки і дорівнює 
, де 
кг/с – коефіцієнт пропорційності. Якщо пробка під впливом зовнішніх сил занурюється у воду, то вона починає робити коливання. Тоді рух пробки описується наступним диференціальним рівнянням:
де – маса пробки, – прискорення вільного падіння, – керуючий вплив.
Пробку занурюють у воду на глибину 
см і відпускають.
Варіант 14.
Об'єктом керування є 
- ланка, в якій ємність конденсатора дорівнює мкФ, індуктивність котушки дорівнює 
Гн, а опір резистора дорівнює 
Ом. Принципова схема об'єкта наведена на рис. 2.14.
Рисунок 2.14 – Принципова схема системи « - ланка»
Аналіз процесів в електричних ланцюгах дозволяє встановити, що падіння напруги на резисторі, яке і є виходом даної системи, дорівнює різниці між вхідною напругою і падінням напруги на конденсаторі й індуктивності:
Напруга визначає струм який є однаковим для послідовно включених елементів ланки. Заряд конденсатора визначається рівнянням: Напруга на конденсаторі визначається його зарядом:
Таким чином, наведена схема забезпечує вироблення вихідної напруги, яка описується таким диференціальним рівнянням:
У початковий момент часу швидкість зміни вхідної напруги дорівнює 
В.
Варіант 15.
Об'єктом керування є матеріальна точкова маса 
кг, яка знаходиться в полі тяжіння тонкого кільця маси 
кг і радіуса 
км. Якщо точкова маса переміщується в точку, розташовану на осі кільця на відстані 
< від площини кільця (див. рис. 2.15), то вона починає здійснювати коливальні рухи.
 |
Рисунок 2.15 – Схема динамічної системи «точкова маса – кільце»
Якщо < 
, то рух точкової маси описується наступним диференціальним рівнянням:
де 
м3·кг-1·с-2 – гравітаційна постійна (постійна Ньютона), 
– керуючий вплив. В початковий момент часу 
м.
Варіант 16.
Об'єктом керування є інерційна інтегруюча ланка, яка зібрана на двох операційних підсилювачах, принципова схема якої наведена на рис. 2.16.
Аналіз процесів в електричних ланцюгах дозволяє встановити, що вихідна напруга 
дорівнює різниці між вхідною напругою і падінням напруги на даній ділянці ланцюга. Падіння напруги на резисторі
 |
Рисунок 2.16 – Принципова схема інерційної інтегруючої ланки
визначає струм 
який є однаковим для послідовно включених елементів ланцюга.
Заряд конденсатора визначається рівнянням 
а напруга на конденсаторі визначається його зарядом:
Таким чином, наведена схема забезпечує вироблення вихідної напруги , яка описується таким диференціальним рівнянням:
Опір резисторів дорівнює 
кОм, 
кОм, а 
кОм. Ємність конденсаторів дорівнює 
мкФ, 
мкФ. Вхідна напруга в початковий момент часу дорівнює В.
Варіант 17.
Об'єктом керування є динамічна система, зображена на рис. 2.17, яка являє собою вертикальну циліндричну трубку, закриту з нижнього кінця, всередині якої може переміщатися без тертя поршень, маса якого 
кг є великою порівняно з масою ідеального газу, який знаходиться всередині трубки. Площа поперечного перетину трубки дорівнює 
м2, на поршень діє нормальний атмосферний тиск 
мм рт.ст. (100 кПа).
Рисунок 2.17 – Схема динамічної системи «поршень – газ»
У положенні рівноваги відстань між поршнем і дном трубки одно 
м. Якщо поршень відхиляється від положення рівноваги на відстань
<< 
, він починає робити коливання, що описуються наступним диференціальним рівнянням:
де 
– прискорення вільного падіння, – керуючий вплив.
В початковий момент часу поршень відхиляється від положення рівноваги на величину 
м.
Варіант 18.
Об'єктом керування є інерційна диференціююча ланка, яка зібрана на операційному підсилювачі, принципова схема якої наведена на рис. 2.18.
Рисунок 2.18 – Принципова схема інерційної диференціюючої ланки
Аналіз процесів в електричних ланцюгах дозволяє встановити, що вихідна напруга дорівнює різниці між вхідною напругою і падінням напруги на даній ділянці ланцюга. Падіння напруги на резисторі визначає струм який є однаковим для послідовно включених елементів ланки.
Заряд конденсатора визначається рівнянням а напруга на конденсаторі визначається його зарядом
Таким чином, наведена схема забезпечує вироблення вихідної напруги , яка описується таким диференціальним рівнянням:
Опір резисторів дорівнює 
кОм, 
кОм. Ємність конденсатора дорівнює мкФ. Швидкість зміни вхідного напруги в початковий момент часу дорівнює 
В.