Теоретичні відомості
Для геометричного опису полів вводять поняття ліній напруженості. Їх проводять так, щоб дотична до них у кожній точці збігалася з напрямком вектора напруженості, а густота ліній, тобто число ліній, що пронизують одиничну площадку, перпендикулярну лініям у даній точці, була б пропорційна модулю вектора напруженості. Крім того, цим лініям приписують напрямок, що збігається з напрямком вектора
Якщо мається деяка довільна поверхня S, то потік вектора
Теорема Гаусса: Потік вектора
З теореми Гаусса випливає, що при будь–якому переміщенні зарядів усередині поверхні потік ліній напруженості через межу поверхні не змінюється. Теорема Гаусса в диференціальній формі. Нехай заряд q розподілений в об’ємі V, який охоплюється замкнутою поверхнею S, із середньою об'ємною густиною
Підставимо цю формулу в математичне вираження теореми Гаусса і розділимо обидві частини отриманого рівняння на V. У результаті одержимо:
Визначимо напруженість у центрі виділеного об’єму. Для цього спрямуємо об’єм V до нуля, стягаючи його до цікавлячій нас точці поля. При цьому середня густина
Величину, що є межею відношення
Після відповідної заміни теорема Гаусса приймає вигляд:
Отримане вираження називається теоремою Гаусса в диференціальній формі. У декартовій системі координат вектор
Введемо векторний диференціальний оператор набла:
Помножимо скалярно вектор набла на вектор напруженості:
Тоді теорема Гаусса в диференціальній формі приймає вигляд:
У диференціальній формі теорема Гаусса є локальною теоремою: дивергенція поля напруженості в даній точці залежить тільки від густини електричного заряду в тій же точці. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|