 |
|
Теоретичні відомості
Електричним струмом називають упорядкований перенос електричних зарядів. Для існування струму необхідна наявність електричного поля, тому що при його відсутності вільні заряди здійснюють хаотичний безупорядкований рух, а наявність поля викликає появу електричної сили, що діє на заряди і зухвалює їхній упорядкований рух. Кількісною характеристикою електричного струму є сила струму І.
Сила струму – це скалярна фізична величина, яка чисельно дорівнює сумарному заряду, що переноситься через поперечний переріз провідника за одиницю часу:
І = dq/dt.
Одиницею сили струму є ампер (А). За 1 А приймають силу постійного струму, який, проходячи по двох паралельних прямолінійних провідниках нескінченної довжини малого кругового перерізу, розміщених на відстані 1 м один від одного в вакуумі, утворює силу взаємодії між ними, яка дорівнює 2*10–7 ньютон на кожний метр довжини.
Густина струму. Електричний струм може бути розподілений по поверхні, через яку він протікає, нерівномірно. Тому для більш детальної характеристики струму використовують вектор густини струму 
. Модуль цього вектора чисельно дорівнює відношенню сили струму dI через елементарну площадку, розташовану в даній точці перпендикулярно напрямку руху носіїв, до її площі dS:
.
Одиниці вимірювання густини струму – [А/м2]. За напрям вектора умовно беруть напрям вектора швидкості 
упорядкованого руху позитивно заряджених частинок. Якщо носіями заряду є як позитивні, так і негативні частинки, то густина струму визначається формулою:
,
де 
і 
– об'ємні густини позитивного і негативного зарядів-носіїв; 
і 
– швидкості їх упорядкованого руху.
У провідниках, де носіями є тільки електрони, густина струму визначається по формулі:
.
Поле вектора можна зобразити графічно за допомогою ліній струму, що проводять так само, як і лінії вектора напруженості. Знаючи вектор густини струму в кожній точці поверхні S, можна знайти силу струму через цю поверхню як потік вектора :
Сила струму є величиною скалярною та алгебраїчною. Її знак, як видно з формули, визначається вибором напрямку нормалі в кожній точці поверхні S, тобто вибором напрямку векторів 
. При зміні напрямку усіх векторів на протилежне величина І змінює знак.
Рівняння безперервності. Нехай у деякій провідній середовищі, де тече струм, знаходиться замкнута поверхня S. Інтеграл 
представляє заряд, що виходить в одиницю часу назовні з об’єму V, охоплюваного поверхнею S. По закону збереження заряду цей інтеграл дорівнює збитку заряду в одиницю часу усередині об’єму V:
.
Це співвідношення називають рівнянням безперервності. Воно є математичним вираженням закону збереження електричного заряду. У випадку постійного струму розподіл зарядів у просторі повинний залишатися незмінним, тобто dq = 0 і рівняння безперервності має вигляд:
,
інакше кажучи, лінії вектора в цьому випадку ніде не починаються і ніде не закінчуються. З останнього виразу також випливає, що у випадку постійного струму поле вектора не має джерел.
Диференціальна форма рівняння безперервності. Перетворимо останні два рівняння до диференціальної форми. Для цього представимо заряд q як 
. Підставивши формулу заряду в рівняння безперервності, одержуємо:
чи 
.
Розділимо обидві частини отриманого рівняння на об’єм і спрямуємо його до нуля. У результаті маємо:
чи 
Якщо 
, то одержуємо умову стаціонарності:
,
що означає, що у випадку постійного струму поле вектора 
не має джерел.
Закон Ома для однорідного провідника. Закон Ома, відкритий експериментально, формулюється наступним чином: сила струму, що протікає по однорідному провіднику, пропорційна різниці потенціалів на його кінцях:
,
де R – електричний опір провідника.
Одиницею опору служить Ом. Опір залежить від форми і розмірів провідника, від його матеріалу і температури, а також від конфігурації струму по провіднику. У найпростішому випадку однорідного циліндричного провідника опір визначається за формулою:
,
де l – довжина провідника; S – площа його поперечного переріза; r – питомий електричний опір, що залежить від матеріалу провідника і його температури.
Виражають в омах-метрах (Ом*м).
Закон Ома в локальній формі. Знайдемо зв'язок між густиною струму і напруженістю електричного поля в одній і тій же точці провідного середовища. Нехай в ізотропному провіднику напрямки векторів j і Е збігаються. Виділимо в околиці деякої точки провідного середовища елементарний циліндричний об’єм з утворюючими, які паралельні вектору j, а значить, і вектору Е. Якщо поперечний переріз циліндра dS, а його довжина dl, то можна записати:
, 
і .
Після відповідних підстановок одержуємо:
чи у векторному виді:
.
Величина, яка обернена питомому електричному опору, називається питомою електричною провідністю і виміряється в сименсах (См):
.
У результаті заміни одержуємо закон Ома в локальній формі:
Він установлює зв'язок між величинами, що відносяться до одній і тій же точці провідного середовища.
Для переміщення електричних зарядів у замкнутому електричному колі крім електричних сил повинні діяти сили неелектричної природи, що називаються сторонніми. Фізична природа сторонніх сил може бути різної. Вони можуть бути обумовлені хімічною і фізичною неоднорідністю провідника або мати магнітне походження. Для кількісної характеристики сторонніх сил використовують поняття поля сторонніх сил і його напруженості 
. Цей вектор чисельно дорівнює сторонній силі, що діє на одиничний позитивний заряд:
.
Сторонні сили виникають усередині джерела в процесах перетворення енергії інших видів в електричну. Сторонні джерела енергії, які пов’язані з процесами перетворення інших видів енергії в електричну, називаються джерелами електричного струму. Робота сторонніх сил по переміщенню одиничного позитивного заряду в електричному ланцюзі називається електрорушійною силою (ЕРС):
[B].
Для електричного кола, у якому працюють електричної і сторонньої сили, закон Ома буде мати вигляд:
.
Так як і 
, то підставивши останню формулу в закон Ома, помноживши ліву і праву частини на dl і проінтегрував по довжині, одержуємо:
.
Оскільки для постійного струму сила струму у всіх перетинах є величиною постійною, то її можна винеси за знак інтеграла:
.
Ліва частина отриманої рівності являє собою добуток сили струму на електричний опір провідника. Перший інтеграл правої частини є різницею потенціалів на кінцях ланцюга, а другий – роботою сторонніх сил по переносу одиничного електричного заряду в ланцюзі, тобто ЕРС:
, 
.
В кінцевому результаті остання формула здобуває вигляд:
.
Отримане рівняння виражає закон Ома для неоднорідної ділянки кола.
Неоднорідним називають ділянку електричного кола, на якому крім електричних сил діють сили неелектричного походження, тобто сторонні.
Якщо електричне коло замкнуте і джерело струму має ЕРС і внутрішній опір r, то j1 = j2 і закон Ома приймає вигляд:
.
Сила струму в замкнутому електричному колі прямо пропорційна ЕРС джерела струму і обернено пропорційна повному електричному опору кола.
Розрахунок складних електричних кіл, наприклад знаходження струмів в окремих її ділянках, значно спрощується, якщо користатися двома правилами Кірхгофа.
Перше правило Кірхгофа стосується вузлових точок. Вузлом у розгалуженому колі називають точку, в якій сходяться більш як два провідники. Формулюється воно наступним чином: алгебраїчна сума струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю:
.
Струми, що йдуть до вузла, вважають позитивними, а струми, що виходять з вузла – негативними.
Друге правило Кірхгофа стосується замкнутого контуру: у будь якому замкнутому контурі, вибраному в системі розгалужених струмів, алгебраїчна сума добутків сил струмів у замкнутому контурі на їхні опори дорівнює алгебраїчній сумі е.р.с., що діють у цьому контурі:
.
Правила Кірхгофа у кожному конкретному випадку дозволяють написати повну систему алгебраїчних рівнянь, з якої можуть бути знайдені всі невідомі струми. При складанні рівнянь необхідно:
1. Позначити стрільцями можливі напрямки струмів, не замислюючись над тим, куди ці стрілки направити. Якщо в результаті обчислення виявиться, що деякий струм позитивний, то це означає, що його напрямок обраний правильно. Якщо ж струм виявиться негативним, то його дійсний напрямок протилежно напрямку стрілки.
2. Вибравши довільно замкнутий контур, усі його ділянки варто обійти в одному напрямку, наприклад по годинній стрілці. Якщо можливий напрямок деякого струму збігається з обраним напрямком обходу, то відповідне доданок ІR у рівнянні треба брати зі знаком плюс, якщо ж ці напрямки протилежні, то зі знаком мінус. Аналогічно варто діяти і з e: якщо е.р.с. підвищує потенціал у напрямку обходу, її треба брати зі знаком плюс, у противному випадку – зі знаком мінус.
З проходженням струму через провідник, що має опір, нерозривно зв'язане виділення теплоти. Визначимо кількість теплоти, що виділяється за одиницю часу на деякій ділянці кола. Нехай однорідна ділянка укладена між перетинами 1 і 2 провідники. Знайдемо роботу, що виконують сили поля над носіями струму на ділянці 1-2 за час dt. Якщо сила струму в провіднику дорівнює І, то за час dt через кожен перетин провідника пройде заряд dq = Іdt. Тому чинена при такому переносі робота сил поля:
.
Відповідно до закону збереження енергії еквівалентна цій роботі енергія повинна виділятися в іншій формі. Якщо провідник нерухомий і в ньому не відбуваються хімічні перетворення, то ця енергія повинна виділятися у формі внутрішньої (теплової) енергії, у результаті чого провідник нагрівається, при цьому теплота, що виділяється в провіднику дорівнює роботі струму:
.
А оскільки за законом Ома 
, то:
.
Отримана формула є математичним виразом закону Джоуля-Ленца: кількість теплоти, що виділяється в провіднику при протіканні по ньому струму прямо пропорційно квадрату сили струму, опору провідника і часу протікання струму.
Закону Джоуля–Ленца в локальній формі виражає виділення теплоти в різних місцях провідного середовища. Виділимо в середовищі елементарний об’єм у виді циліндрика з утворюючими, паралельними вектору густини струму в даній точці. Нехай поперечний переріз циліндрика dS, а його довжина dl. Тоді на підставі закону Джоуля-Ленца в цьому об’ємі за час dt виділяється кількість теплоти:
,
де dV = dSdl – об’єм циліндрика.
Розділивши останнє рівняння на dVdt, одержимо формулу, що визначає кількість теплоти, яке виділяється за одиницю часу в одиниці об'єму провідного середовища – питому теплову потужність струму:
.
Ця формула виражає закон Джоуля-Ленца в локальній формі: питома теплова потужність струму пропорційна квадрату густини електричного струму і питомому опору середовища в даній точці.
Якщо на носії струму діють тільки електричні сили, то на підставі закону Ома 
локальний закон Джоуля-Ленца приймає вигляд:
.
Якщо ділянка кола неоднорідна, тобто містить джерело е.р.с., то на носії струму будуть діяти не тільки електричні сили, але і сторонні. У цьому випадку виділюване в нерухомому провіднику тепло за законом збереження енергії буде дорівнює алгебраїчній сумі робіт електричних і сторонніх сил. Це ж відноситься і до відповідних потужностей: теплова потужність повинна дорівнювати алгебраїчній сумі потужностей електричних і сторонніх сил.
За законом Ома для неоднорідної ділянки кола:
.
Помножимо ліву і праву частини останньої рівності на силу струму І:
.
Ліва частина отриманої формули представляє теплову потужність, що виділяється у колі 
. При наявності сторонніх сил величина визначається формулою:
.
Останній доданок праворуч являє собою потужність, що розвивається сторонніми силами на даній ділянці.
Таким чином, отримане рівняння означає, що теплова потужність, виділювана на ділянці кола між точками 1 і 2, дорівнює алгебраїчній сумі потужностей електричних і сторонніх сил. Суму цих потужностей називають потужністю струму на розглянутій ділянці кола. У випадку нерухомої ділянки кола потужність виділюваної на цій ділянці теплоти дорівнює потужності струму. Для замкнутого нерозгалуженого кола j1 = j2 і питома теплова потужність дорівнює:
,
тобто загальна кількість виділюваної за одиницю часу у замкненому колі джоулевої теплоти дорівнює потужності тільки сторонніх сил. Виходить, теплота виробляється тільки сторонніми силами. Роль же електричного поля зводиться до того, що воно перерозподіляє цю теплоту по різних ділянках кола.