 |
|
Приклад розв’язування задач
Задача 1. Два нескінченно довгих коаксіальних циліндри з радіусами R1 = 9 мм і R2 = 12 мм заряджені однойменними зарядами, причому густина зарядів на внутрішньому циліндрі s1 = 10–3 кл/м2, а на зовнішньому s2 = 2*10–3 кл/м2. Визначити величину напруженості Е електричного поля в просторі між циліндрами і поза ними на відстанях l1 = 10 мм і l2 = 20 мм від спільної осі циліндрів.
Розв'язання. Спочатку визначимо напруженість поля в точці А, яка міститься між циліндрами на відстані l1 від спільної осі циліндрів (див. малюнок). Зважаючи на симетрію, можна зробити висновок, що напруженість у точці А спрямована по продовженню радіуса. Теорему Остроградського – Гаусса застосуємо до проведеної через точку А циліндричної поверхні, вісь якої збігається з віссю заряджених циліндрів, а верхня і нижня основи перпендикулярні до осі і розміщені одна від одної на відстані h. Повний потік через цю поверхню виражається потоком тільки через бічну поверхню, оскільки напруженість паралельна основам і потік через них дорівнює нулю. Через те що лінії напруженості перпендикулярні до бічної поверхні циліндрів, повний потік N знайдемо, помноживши значення напруженості Е на величину площі бічної поверхні:
За теоремою Остроградського – Гаусса потік N дорівнює сумі зарядів, розміщених всередині поверхні, через яку йде потік; цей заряд дорівнює заряду, що припадає на довжину Н внутрішнього циліндра:
.
Отже,
,
звідки
.
Аналогічно визначається напруженість поля в точці В, яка міститься поза циліндрами.
Повний потік через бічну поверхню циліндра радіусом 12. проведеного через точку В, дорівнює:
Сумарний заряд, розміщений всередині цієї поверхні, дорівнює зарядам, що припадають на довжину h внутрішнього і зовнішнього циліндрів:
,
За теоремою Остроградського –Гаусса маємо:
Звідки
.
Питання для перевірки знань
1. Поле розподілених зарядів. Потік ліній напруженості. Теорема Гаусса. Теорема Гаусса в диференціальній формі.
2. Застосування теореми Гаусса. Поле рівномірне зарядженої площини, нескінченного круглого циліндра, сферичної поверхні і рівномірно зарядженої кулі.