Главная | Обратная связь

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Напруга на клемах електричного кола, яке має опір R = 3 Ом, за час Dt = 20 c рівномірно зростає від U₀ = 2В до U = 4В. Визначити:

1. заряд, який пройшов по колу за цей час;

2. кількість тепла, яке виділиться у колі.

 

Розв’язання. Сила струму на ділянці кола у будь який момент часу визначається за формулою: І = dq/dt, відкіля заряд, який пройшов за час dt: . За законом Ома для однорідного провідника . Внаслідок рівномірного зростання напруги можливо записати: , де k – коефіцієнт пропорційності. Підставивши все це у формулу заряду, отримуємо:

. (1)

Проінтегрувавши рівняння (1), отримуємо:

. (2)

Коефіцієнт k знайдемо із умови, що у момент t₀ = 0 U₀ = 2В, а через Dt = t = 20 c U = 4В:

. (3)

Підставивши (3) у (2), отримаємо кінцеву формулу для визначення електричного заряду:

.

Кількість тепла знайдемо за законом Джоуля–Ленца:

.

Враховуючи закон Ома і рівняння залежності напруги від часу, отримуємо:

. (4)

Проінтегрував рівняння (4) матимемо:

. (5)

Після підстановки (3) у (5), остання формула приймає вигляд:

= 62,2 Дж.

Задача 2. Потенціометр, опір якого R=100 Ом підключили до акумулятора з внутрішнім опором r=50 Ом, е.р.с. e якого дорівнює 150 В. Знайти рівняння залежності показань вольтметра з опором 500 Ом, який підключено так, як показано на малюнку, від довжини ділянки AB потенціометра. Що покаже вольтметр, якщо рухомий контакт потенціометра знаходиться посередині. Знайти різницю потенціалів на ділянці AB, якщо вольтметр від’єднати.

 

Розв’язування. Рухомий контакт потенціометра сприяє розгалуженню струмів, тому опір R представимо як суму двох резисторів R₁ і R₂. Еквівалентна схема в цьому випадку показана на малюнку. Запишемо закон Ома для замкненого кола і для ділянки кола AB:

, .

Звідси знайдемо напругу, яку показує вольтметр:

(1)

Оскільки , то зробивши відповідну заміну в (1) і після деяких перетворень, отримуємо:

(2)

Із формули (2) випливає, що напруга вольтметра змінюється від 0 при правому положенні повзунка потенціометра А (R₂ = 0) до

при лівому положенні рухомого контакту А (R₂ = R).

Якщо рухомий контакт знаходиться посередині, то R₁ = R₂ = R/2 і напруга вольтметра буде дорівнювати

.

Якщо вольтметр від’єднати, то закон Ома для замкнутого кола і для ділянки з опором R/2 матиме вигляд:

і ,

звідси знаходимо:

Задача 3. Визначити опір залізного стержня (r₀ = 0,12 Ом*м), температура одного кінця якого 0°С, другого 800°С. Довжина стержня L = 5 м, площа поперечного перерізу S = 1 см². Температурний коефіцієнт опору для заліза дорівнює a = 6*10^–3 К^–1. З бокової поверхні тепло не відводиться, залежністю коефіцієнта теплопровідності від температури нехтуємо.

 

Розв’язування. Тепло в стержні передається теплопровідністю. Оскільки з бокової поверхні стержня тепло не відводиться, а передається тільки вздовж стержня, то за законом Фур’є:

.

де – градієнт температури. Через те, що температура кінців стержня підтримується незмінною, то процес теплопровідності є стаціонарним, причому права частина останнього рівняння залишається сталою. Отже

. (1)

Інтегруючи (1), визначимо закон зміни температури вздовж стержня:

, звідки , (2)

де – відстань до розглядуваного перерізу від кінця стержня, який має температуру t₁.

Питомий опір r при температурі дорівнює:

, (3)

де і – сталі величини. Опір стержня знайдемо за формулою:

. (4)

Підставивши в (4) a і b, отримуємо:

Ом.

 

Задача 4. Вольтметр, підключений до затисків джерела струму, показав 6 В. Коли до тих же затисків підключили резистор, вольтметр став показувати 3 В. Що покаже вольтметр, якщо замість одного підключити два таких же резистори, з'єднаних послідовно? паралельно?

 

Розв’язування. Схема підключення вольтметра в електричне коло показана на рисунку. Знайдемо напругу на джерелі струму. Будемо вважати вольтметр ідеальним, тобто його опір дорівнює безкінченністі. Запишемо закон Ома для замкненого кола і для ділянки з опором R:

, ,

звідси отримаємо: . Отримана формула дозволяє знайти напругу, яку показує вольтметр у кожному випадку його підключення. Якщо зовнішній опір R відсутній, тобто , то , При наявності зовнішнього опору формули напруги вольтметра у кожному випадку мають вигляд:

, , .

Перепишемо отримані рівняння у вигляді:

, , .

Визначивши з першого рівняння і підставивши у друге і третє і враховуючи, що , отримаємо:

, .

 

Задача 5. Визначити силу струму, що проходить через опори R₁ = R₄ = 2 Oм, R₃ = R₂ = 4 Oм, увімкнені в коло, як показано на рисунку, якщо Е₁ = 10 В, Е₂ = 4 В. Опорами джерел струму можна знехтувати.

 

Розв'язання. Тут маємо розгалужене коло; отже, щоб визначити сили струмів, застосовуємо закони Кірхгофа. Для розв'язання задачі треба скласти чотири рівняння (за кількістю невідомих величин – струмів). Виберемо довільно напрями струмів у кожній ділянці кола. Напрям обходу контурів виберемо за годинниковою стрілкою. За першим законом Кірхгофа для вузла В маємо:

. (1)

Запишемо другий закон Кірхгофа для контуру AR₁BR₂A:

, (2)

для контуру AR₁BR₃A:

(3)

для контуру AR₃BR₄A:

(4)

Розв'язуючи систему рівнянь (1) – (4) відносно струмів, знайдемо:

I₁ = 3A, I₂ = 0, I₃ = –1A, I₄ = 2A.

Знак «–» у числовому значенні струму I₃ свідчить про те, що він має протилежний напрям, тобто йде від вузла В до вузла А.

 

Питання для перевірки знань

1. Електричний струм. Сила струму. густина струму. Рівняння безперервності. Умова стаціонарності.

2. Закон Ома для однорідного провідника. Електричний опір. Зв'язок між густиною струму і напруженістю.

3. Джерело струму. Закон Ома для неоднорідної ділянки ланцюга і замкнутого ланцюга постійного струму.

4. Розрахунок розгалужених електричних ланцюгів. Правила Кірхгофа.

5. Закон Джоуля-Ленца. Закон Джоуля-Ленца в локальній формі.