 |
|
Скорость звука в газе
Зависимость плотности от давления ярко проявляется у газов: при увеличении давления на газ его плотность увеличивается. Кроме того, газ при сжатии нагревается. Теплопроводность у газа мала, поэтому тепло не успевает уходить из нагретых областей. Это значит, что для газа сжатие является адиабатным процессом (т.е. без передачи тепла). Адиабатный процесс для идеального газа описывается уравнением
(а)
в котором константа 
называется показателем адиабаты, 
При сжатии масса не меняется. Пусть 
– масса газа и его объём. Тогда 
Подставив в (а), получим 
или
(2.12)
где 
Получили связь между 
и 
Из (2.12) находим
(2.13)
Из (2.12) следует
(2.14)
Подставим в (2.13):
Отсюда 
Подставив в (2.11), будем иметь
(2.15)
Получилась формула определения скорости звука в газе.
Решение уравнения Эйлера для газа
И сжимаемой жидкости
Воспользуемся равенством (2.9), в котором не использовалось условие несжимаемости. Подставим (2.13) в (2.9). Получим
(а)
Пусть при 
выполняются условия: 
(б)
Подставим их в (а):
Вычтем это выражение из (а):
Отсюда
(в)
Найдём 
чтобы сюда вставить. Из (2.14) и (2.15) имеем 
Отсюда 
Подставим в (в):
(г)
Заметим, что величина 
очень мала (т.к. 
близко к нулю, а скорость звука 
велика). Кроме того, скорость течения обычно мала по сравнению с 
перепад высот 
невелик. Поэтому в фигурных скобках второй член мал и выражение (г) допускает следующее приближение:
В частности, для горизонтального канала (когда 
будем иметь
Глава 3
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Понятие о вязкости
Реальная жидкость и газ имеют вязкость.
Вязкость – это сила трения между слоями текущей жидкости.
Именно из-за вязкости текущая жидкость, предоставленная самой себе (т.е. когда убраны причины, вызвавшие движение), останавливается.
Рассмотрим два опыта, в которых проявляется внутреннее трение (вязкость).
О п ы т 1. В вертикальную трубку с краном внизу нальём воду, а на неё сверху осторожно дольём коричневое растительное масло (рис. 3.1). В состоянии равновесия граница раздела будет горизонтальной (пунктирная линия).
Откроем кран так, чтобы течение было очень медленным. Вскоре граница раздела примет форму параболоида вращения. Слой жидкости, прилегающий к стенке трубки, неподвижен. Скорость течения остальных слоёв увеличивается по мере приближения к оси трубки.
О п ы т 2. Поместим в жидкость две параллельные пластины одинаковой площади 
расстояние между которыми 
причём 
(рис. 3.2).
Будем перемещать вправо верхнюю пластину Рис. 3.1
со скоростью 
Убеждаемся, что для перемеще-
ния пластины с постоянной скоростью, к ней нужно приложить определённую постоянную силу 
Раз пластина движется не ускоренно, значит, на неё действует нулевая суммарная сила. Следовательно, внешнюю силу 
которую мы прикладываем, уравновешивает противоположно направленная сила трения жидкости о пластину. Обозначим её 
Выполняя этот опыт при различных 
(как это делал Ньютон), можно убедиться, что
Рис. 3.2
Значит,
(3.1)
Коэффициент 
называется динамической вязкостью; он зависит от типа жидкости и её состояния (например, от температуры). Опыт показывает, что при нагревании вязкость жидкости уменьшается, а газов – растёт.
Относительно верхней пластины нижняя пластина движется с той же скоростью 
но в обратную сторону, влево. Значит, на нижнюю пластину действует сила 
Формула (3.1) определяет не только силу трения, действующую на пластину, но и силу трения между соприкасающимися слоями жидкости.
Для слоёв, находящихся на расстоянии 
скорости отличаются на 
Поэтому формулу (3.1) можно записать так:
(3.2)