Главная | Обратная связь

Расход при стационарном течении.

Течение называют стационарным, когда скорость не зависит от времени.

Рассмотрим течение жидкости в каком-либо трубопроводе через поперечные сечения и За единицу времени через сечение втекает объём а через вытекает объём Так как жидкость практически несжимаема, то в пространстве между и объём жидкости не меняется. Значит, объём входящей жидкости через сечение равен объёму выходящей жидкости через Иначе говоря, . Таким образом,

 

Условие постоянства расхода

(2.7)

 

 

Следовательно, там, где сечение больше, скорость меньше.

 

 

Одномерное течение. Уравнение Эйлера

 

Течение в одном направлении (вдоль определённой линии) называется одномерным.

В пространстве, где течёт жидкость, выделим неподвижный бесконечно малый объём в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.4). Введём систему координат Обозначив размеры параллелепипеда получим

(2.8)

Масса жидкости внутри равна

(2.9)

где – плотность жидкости. Укажем силы, действующие на эту массу (рис. 2.4).

 

Рис. 2.4

 

Наша цель – составить уравнение движения частиц жидкости. Для этого воспользуемся вторым законом Ньютона

Спроецируем векторы на ось

Подставим (2.9):

(2.10)

Левая часть – суммарная сила, действующая на массу Она равна

Так как то с учётом (2.8) это выражение можно упростить:

(2.11)

Подстановка (2.11) и (2.9) в (2.10) даёт

или

(2.12)

Найдём ускорение рассматриваемого элемента жидкости, находящегося внутри Оно равно ускорению частиц, расположенных на левой грани параллелепипеда.

Обозначим проекцию вектора скорости на ось Скорость частиц зависит от и от поэтому

Отсюда следует, что

(2.13)

Здесь время, за которое частицы, находящиеся на левой грани, пройдут расстояние Тогда

(2.14)

Подставим (2.14) в (2.13). Будем иметь отсюда

(2.15)

Осталось подставить (2. 15) в (2.12):

Разделив обе части на получим окончательно

Уравнение Эйлера

 

(2.8)

 

 

Уравнение Бернулли

 

Рассмотрим стационарное течение вдоль оси При стационарном течении скорость со временем не меняется, поэтому Уравнение Эйлера (2.8) примет вид

(а)

В поле силы тяжести Спроецируем на ось наклонённую под углом к вертикали (рис. 2.5). Получим Подставим в (а):

(б)

На рис. 2.5 видим, что когда координата растёт высота уменьшается поэтому Подставим в (б):

Рис. 2.5

(2.9)

У несжимаемой жидкости В этом случае равенство (2.9) запишется так:

Умножив все члены на получим

 

Уравнение Бернулли для несжимаемой и невязкой жидкости

 

(2.10)

 

З а д а ч а 1. В наклонном трубопроводе течёт вода (рис. 2.6). В сечениях с диаметрами м и м производится замер давлений. Разница давлений оказалась равной м ртутного столба. Определить расход воды, если кг/м³, кг/м³.

В обоих сечениях расход одинаков:

Составим уравнение Бернулли для этих сечений:

где и – статиче­ские давления в обоих сечениях, и – высоты до обоих сечений, отсчитанные от общего горизонтального уровня (рис. 2.6).

Составим условие равенства давлений

Решим систему уравнений:

Из первых двух уравнений имеем:

(а)

Из четвёртого уравнения подставим в третье:

Подставим значения и из (а): Рис. 2.6

Отсюда