Тема 4. МІЦНІСТЬ ПРИ СКЛАДНОМУ НАПРУЖЕНОМУ СТАНІ

ЛІТЕРАТУРА: 1, р. VIII; 2, р, XII; § 95—98, 3, р. VIII, § 56—58.

При опрацюванні цієї теми необхідно звернути увагу на наступні положення. Для випадків простого напруженого стану, наприклад розтягу-стиску, коли міцність визначається тільки нормальним напруженням σ, чи при чистому зсуві, коли усе визначається тільки дотичним напруженням τ , умови міцності записуються просто

σ_max ≤ [σ] , або τ_max ≤ [τ] (4.1)

де [σ] і [τ] — відповідні допустимі напруження. Для складного напруженого стану, що виникає при складних навантаженнях, простих умов типу (4.1) одержати неможливо, оскільки відмінними від нуля можуть бути всі напруження σ_x,σ_y, σ_z, τ_xy,τ_xz, τ_yz, чи всі головні напруження σ₁ ,σ₂, σ₃.У цих випадках доводиться вводити деякі гіпотези, що характеризують граничний стан у точці. В залежності від цих гіпотез формулюються теорії міцності. Ці теорії залежать від загальних властивостей матеріалу конструкції. Для пластичних і крихких матеріалів рівняння граничного стану будуть різними. При формулюванні, як правило, вводиться поняття про еквівалентне напруження, що порівнюється з допустимим напруженням. Зверніть увагу на те, що найбільш уживаними критеріями для пластичних матеріалів є:

1. Критерій найбільших дотичних напружень (критерій Сен-Венана), відповідно до якого граничний стан настає тоді, коли найбільше дотичне напруження досягає граничного значення

(4.2)

2. Критерій питомої потенціальної енергії зміни форми (критерій Мізеса), відповідно до якого граничний стан характеризується досягненням питомою потенціальною енергією зміни форми граничного значення. У цьому випадку гранична умова має вигляд

(4.3)

3. Критерій крихкого руйнування (критерій Мора). Відповідно до цього критерію будується гранична поверхня в просторі напружень. Ця поверхня будується з урахуванням експериментальних даних і враховує часткові граничні випадки (досягнення кругом напружень граничної обгинаючої). Відповідно до цієї теорії

(4.4)

де (4.5)

У цих формулах [σ_р], [ σ _с] — допустимі напруження при розтягу і стиску.

Досить часто в практичних розрахунках зустрічається так званий спрощений плоский напружений стан, коли одне з нормальних напружень дорівнює нулю (σ_y= 0, σ_x= σ,τ_yx = τ). У цьому випадку головні напруження визначаються за формулою

(4.6)

а еквівалентні напруження для різних теорій міцності будуть наступними:

а) для теорії Сен-Венана

(4.7)

б) для теорії Мізеса

(4.8)

в) для теорії Мора

(4.9)

Питання для самоперевірки

1. Як формулюються рівняння граничних станів?

2. Що таке еквівалентне напруження?

3. Сформулюйте критерій найбільших дотичних напружень.

4. Сформулюйте критерій питомої потенціальної енергії зміни форми.

5. Сформулюйте критерій крихкого руйнування.

ТЕМА 5. ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНИХ ПЕРЕРІЗІВ

ЛІТЕРАТУРА: 1, р. V; 2, p.VI, § 45-50; 3, p. III, § 25-27.

При опрацюванні даної теми необхідно звернути увагу на наступні положення.

Основними характеристиками поперечного перерізу, що відноситься до декартової прямокутної системи координат є:

- площа

; (5.1)

- статичні моменти

; (5.2)

- осьові моменти інерції

; (5.3)

- відцентровий момент інерції

; (5.4)

- полярний момент інерції

. (5.5)

З наведених формул виходить, що , а може бути як додатнім, так і від'ємним, або рівним нулю.

Момент інерції для найпростіших фігур наведені в табл. 2

Осі , називаються центральними, якщо вони проходять через центр ваги січення, положення якого в початковій системі координат визначається за формулами:

(5.6)

Зверніть увагу, що для центральних осей статичні моменти дорівнюють нулю ( ). Якщо переріз складається з окремих частин, положення центрів ваги яких відомі, то замість (5.6) маємо

(5.7)

Якщо в перерізі є отвір, то відповідні складові в цих формулах потрібно взяти зі знаком мінус.

При паралельному переносі осей координат, що характеризуються залежностями

(5.8)

осьові і відцентрові моменти інерції змінюються в такий спосіб:

(5.9)

Тут необхідно звернути увага на те, що осі — центральні.

Таблиця 2

№ п/п	Фігура


		-	-

При повороті осей на кут (проти ходу годинникової стрілки) моменти інерції змінюються відповідно до формул

;

; (5.10)

Зверніть увагу, що інваріантом при повороті осей є сума осьових моментів інерції:

(5.11)

Очевидно, що існують осі, щодо яких і приймають найбільші і найменші значення. Положення цих осей визначається кутом , що знаходиться з рівняння

або , (5.12)

а самі екстремальні значення визначаються за формулою

(5.13)

Осі, відносно яких осьові моменти інерції приймають екстремальні значення, називаються головними. Необхідно звернути увагу на те, що відносно головних осей відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю. Справедливий і зворотний висновок, тобто якщо відносно яких-небудь осей відцентровий момент інерції дорівнює нулю, то ці осі будуть головними й осьові моменти інерції відносно цих осей визначаються згідно (5.13).

Для характеристики інерційних властивостей перерізу часто вводяться так звані радіуси інерції

(5.14)

Зіставлення формул перетворення моментів інерції (5.10) і напружень (3.2) говорить про структурну аналогію. Для моментів інерції також можна дати геометричну інтерпретацію з побудовою круга інерції (круга Мора). При розборі способу побудови круга інерції необхідно звернути увагу на те, як знайти його центр [координати центра : ] і радіус , а також і полюс Р — точку на колі, проведений промінь через яку під кутом до осі при перетині з колом дасть точку, координати якої збігаються з і відносно цієї осі.

Питання для самоперевірки

1. Які величини служать характеристиками поперечних перерізів?

2. Які знаки можуть мати осьові і відцентрові моменти інерції?

3. Як знаходяться координати центра ваги перерізу?

4. Як змінюються моменти інерції при паралельному переносі осей?

5. Як змінюються моменти інерції при повороті осей?

6. Що є інваріантом при повороті осей?

7. Які осі називаються головними центральними осями?

8. Як знаходяться головні центральні осі?

9. Як знаходяться головні моменти інерції? Який зміст має поняття “радіус інерції”?

10. Як будується круг інерції?

ПРИКЛАД 5. Для поперечного перерізу, зображеного на рис.5а, необхідно визначити положення центра ваги, положення головних центральних осей інерції і осьові моменти інерції відносно цих осей; побудувати круг інерції.

Розв’язання. Перш за все для заданих профілів з таблиць у відповідності з ГОСТ 8240-72 і шляхом безпосередніх обчислень з врахуванням табл. 2 знайдемо

Положення центрів ваги і осей і показані на рис. 5б і 5в. Необхідно звернути увагу на те, що вісь співпадає з напрямком осі , а - з напрямом осі . Тому , а Відмітимо, що внаслідок того, що в даних фігур одна з осей є віссю симетрії.