Математические модели представления детерминированных одномерных сигналов
Для удобства в дальнейшем рассматриваются одномерные сигналы, зависящие от одного параметра, например, времени или пространственной координаты. Предположим также, что информационные системы являются инвариантными во времени и линейными. В связи с тем, что большинство применяемых моделей информационных систем и каналов обладают свойствами суперпозиции, то при прохождении через такие системы сложного сигнала его удобно представить в виде взвешенной суммы более простых базисных функций . , , (2.1) где - постоянные коэффициенты; - интервал существования сигнала; - начало сигнала; - окончание сигнала. Таким образом, при заданном наборе базисных функций, сигнал однозначно определяется совокупностью безразмерных коэффициентов , которая называется дискретным спектром сигнала, а сами - спектральными коэффициентами. Избрав такой вид представления сигнала, следует помнить, что сигналы конечной длительности за пределами интервала , не равны нулю, а условно считаются периодически продолжающимися, так как они представляются выражением (2.1). Если же необходимо, чтобы ограниченный по времени сигнал вне интервала был равен 0, то для его представления используют выражение: , (2.2) где - спектральная плотность; - базисная функция с непрерывно изменяющимся параметром ω. Размерность обратна размерности параметра ω, а произведение является аналогом безразмерного коэффициента . С практической точки зрения базисные функции следует выбирать так, чтобы они имели простой аналитический вид, простую техническую реализацию, обеспечивали быструю сходимость ряда (2.1) и позволяли легко определять коэффициенты . Вычисление спектральных коэффициентов упрощается, если в качестве совокупности базовых функций ( ) использовать системы ортогональных функций. Систему функций называют ортогональной на интервале , если для всех и , за исключением случая , справедливо равенство . (2.3) Эта система ортогональных функций называется ортонормированной, если для всех справедливо выражение . (2.4) Если выражение (2.4) не выполняется и , при , (2.5) то систему ортогональных функций легко отнормировать, умножив каждую функцию на свой коэффициент . При использовании в представлении сигналов в качестве базисных функций систем ортонормированных функций, определение спектральных коэффициентов не представляет сложности. Действительно, если сигнал U(t) представлен совокупностью ортонормированных функций в виде: , , (2.6) то, полагая, что интервал принадлежит интервалу ортогональности, умножая обе части равенства на и интегрируя их на интервале получим . (2.7) В силу свойства ортогональности все интегралы в правой части выражения (2.7) при будут равны нулю, кроме одного, при , который будет равен 1, следовательно . (2.8) Таким образом, могут быть определены все спектральные коэффициенты, входящие в рассмотренную формулу представления сигнала. На практике для представления сигналов наиболее часто используют системы ортогональных функций (2.9) где Т - период сигнала. Для этих целей могут быть использованы системы функций Хаара, системы функций Уолша, ортогональные базисные многочлены Котельникова, Чебышева, Лежандра. На практике часто используют в качестве системы ортогональных базисных функций совокупность дельта-функций (δ-функция), иногда ее называют функцией Дирака. Математическое описание дельта-функции задается соотношением: (2.10) Такая математическая модель соответствует идеальному (абстрактному) импульсу бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды, имеющего координату . Очевидно, что спомощью δ-функции можно выразить значение любого реального сигнала при конкретном значении координаты : . (2.11) Это равенство справедливо для любого текущего значения координаты t. Заменив на t и приняв в качестве переменной интегрирования ξ, получим . (2.12) Такая модель представляет функцию в виде последовательности примыкающих друг к другу δ-функций. Совокупность таких δ-функций ортогональна, так как они не перекрываются. Представление сигналов в виде совокупности δ-функций очень полезно при анализе линейных систем, так как установив реакцию системы на единичную δ-функцию (импульсную переходную функцию), можно определить реакцию системы на произвольный входной сигнал, которая соответствует суперпозиции реакций на последовательность смещенных δ-функций с соответствующими весами.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|