Главная | Обратная связь

Теорема 66 (Больцано-Вейерштрасса).

Теорема 0.1

Существует, и притом только одна, точка, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.

Доказательство. Из неравенств (1) следует: {a_n} - неубывающая последовательность, {b_n} - невозрастающая. Кроме того, обе эти последовательности ограничены, так как все их члены лежат на сегменте [a,b]. Следовательно, эти последовательности сходятся. Так как b_n - a_n® 0 при n ® ¥, эти последовательности имеют один и тот же предел. lim a_n = lim b_n = c. Так как {a_n} - неубывающая последовательность, a_n<c ("n). "n: a_n £ c £ b_n , то есть c Î [a_n , b_n] "n. Существование точки, принадлежащей всем сегментам стягивающейся системы, доказано. Докажем теперь, что такая точка только одна. Предположим, существует другая точка d Î [a_n , b_n] "n. Пусть для определенности d > c. Но в этом случае b_n - a_n ³ d - c > 0, lim (b_n - a_n) = d - c > 0, что противоречит условию lim (b_n - a_n) = 0.Итак, точка с - единственная, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.

Теорема доказана.

Лемма 1.

Если lim x_n = a, то и любая подпоследовательность этой последовательности сходится к точке a: lim =a.

Доказательство.Так как lim x_n = a, то " e > 0 все члены последовательности с номерами k_n ³ N лежат в e-окрестности точки a, а это и означает, что lim =a. Может случиться так, что сама последовательность расходится, то есть не имеет предела, но у нее есть сходящаяся подпоследовательность

.Теорема (Больцано-Вейерштрасса).

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть {x_n} - ограниченная последовательность, то есть все ее элементы лежат на некотором сегменте [a , b]. a £ x_n £ b ("n). Разделим сегмент [a , b] пополам. По крайней мере на одной из половин сегмента [a , b] лежит бесконечно много членов последовательности {x_n}, обозначим эту половину через [a₁, b₁].Возьмем какой-нибудь : a₁£ £ b₁. Далее разделим сегмент [a₁, b₁] пополам и обозначим через [a₂, b₂] ту половину, на которой находится бесконечно много членов последовательности {x_n. Выберем Î [a₂, b₂], k₂ > k₁. a₂£ £ b₂. Затем разделим сегмент [a₂, b₂] пополам, и так далее. Продолжая этот процесс, получим стягивающуюся систему сегментов [a₁, b₁], [a₂ , b₂], … , [a_n , b_n], … (так как b_n-a_n = ® 0 при n ® ¥), и последовательность , которая является подпоследовательностью последовательности {x_n}. " n: a_n£ £ b_n. (1) По теореме 0.1 $ точка с: lim a_n = lim b_n = c.Отсюда и из неравенства (1) следует, что ® c при n ® ¥.Таким образом, мы выделили из последовательности {x_n} сходящуюся подпоследовательность. Теорема доказана.

Из теоремы 66 следует, что ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.

Теорема 68.

Определение 1.

Число a называется предельной точкой последовательности {x_n}, если из последовательности {x_n} можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к a.

Определение 2.

Число a называется предельной точкой последовательности {x_n}, если в любой e-окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}.

Определения 1 и 2 эквивалентны.

В самом деле, пусть a - предельная точка последовательности {x_n} по первому определению, тогда существует подпоследовательность ® a, и в любой e-окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}, а это и означает, что точка a является предельной точкой последовательности по определению 2.

Теорема 70.

Любая ограниченная последовательность имеет верхний и нижний пределы.

Доказательство. Пусть {x_n} - ограниченная поледовательность.

Обозначим через {a} множество всех предельных точек этой последовательности. Так как это множество ограничено и непусто, то оно имеет точные грани.

Обозначим = Sup {a}, = inf {a}.Достаточно доказать, что Î {a}, Î {a}.Проведем доказательство для .Рассмотрим произвольную e-окрестность точки и, кроме того, рассмотрим -окрестность точки .По определению точной верхней грани, существует точка a Î {a}: a Î { -окрестности точки a}, а по определению 2 предельной точки в -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}.Но { -окрестность точки a} Ì {e-окрестности точки }, тем самым, в e-окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}