Главная | Обратная связь

Диференціальні рівняння рівноваги

Виділимо з тіла, що перебуває під дією зовнішніх сил, нескінченно малий паралелепіпед, грані якого паралельні координатним площинам, а ребра мають довжину . На кожній грані такого елементарного паралелепіпеда діють по три складові напруги, паралельні координатним осям. Всього на шести гранях одержимо 18 складових напруг.

Нормальні напруги позначаються у вигляді , де індекс позначає нормаль до відповідної грані (тобто може приймати значення ). Дотичні напруження мають вигляд ; тут перший індекс відповідає нормалі до тієї площадки, на якій діє дане дотичне напруження, а другий вказує вісь, паралельно який ця напруга спрямована (мал.1.1).

Рис.1.1. Нормальні й дотичні напруження

Для цих напруг прийняте наступне правило знаків. Нормальна напруга вважається позитивною при розтяганні, або, що те ж саме, коли вона збігається з напрямком зовнішньої нормалі до площадки, на якій діє. Дотичне напруження вважається позитивним, якщо на площадці, нормаль до якої збігається з напрямком паралельної йому координатної осі, воно спрямоване в бік відповідній цій напрузі позитивної координатної осі.

Складові напруг є функціями трьох координат. Наприклад, нормальну напругу в точці з координатами можна позначати

В точці, що знаходиться від розглянутої на нескінченно малій відстані, напругу з точністю до нескінченно малих першого порядку можна розкласти в ряд Тейлора:

Для площадок, які паралельні площині змінюється тільки координата х, а приріст Тому на грані паралелепіпеда, що збігається з площиною нормальна напруга буде , а на паралельній грані, що знаходиться на нескінченно малій відстані , — Напруги на інших паралельних гранях паралелепіпеда зв'язані аналогічним чином. Отже, з 18 складових напруги невідомими є тільки дев'ять.

Крім напруг на паралелепіпед діють об'ємні сили. Якщо позначити проекції на координатні осі об'ємних сил, віднесених до одиниці об'єму тіла через то складові об'ємних сил, що діють в об’ємі розглянутого паралелепіпеда, будуть

Для тіла, що перебуває в рівновазі, повинні задовольнятися шість рівнянь статики: три рівняння проекцій на координатні осі й три рівняння моментів щодо цих осей.

Складемо рівняння проекцій на вісь х. Перемножуючи кожну напругу на площу грані, по якій воно діє, і переходячи в такий спосіб від напруг до сил, одержимо

Після перетворень це рівняння рівноваги приймає вигляд

Аналогічним чином виходять два інших рівняння проекцій, і в результаті три диференціальних рівняння рівноваги записуються так:

(1.1)

Перейдемо до рівнянь моментів щодо координатних осей. Складемо суму моментів всіх сил щодо осі y:

Після перетворень, відкидаючи величини четвертого порядку малості й розділивши на об’єм паралелепіпеда, одержимо

Суми моментів щодо двох інших осей дають аналогічні співвідношення. Ці три рівності виражають закон парності дотичних напружень:

(1.2)

Цей закон формулюється в такий спосіб: по двох взаємно перпендикулярних площадках складових дотичних напруг, перпендикулярні лінії перетинання цих площадок, рівні одна одній

Рівності (1.2) приводять до того, що з дев'яти складових напруг, що характеризують напружений стан в точці тіла, залишаються тільки шість:

(1.3)

Для визначення цих шести величин є тільки три рівняння рівноваги (1.1), отже, задача теорії пружності по визначенню напруг у нескінченно малому об’ємі є статично невизначеною.

Відсутні рівняння можна одержати, розглядаючи деформації тіла і його фізичні властивості.