Расчет индукции магнитного поля на оси соленоида
Получим формулу для индукции магнитного поля на оси соленоида длины l и радиуса а, на единицу длины которого приходится п витков (рис. 6.6). Пусть в соленоиде идет ток, сила которого равна I.
l
Рис.6.10.К расчету индукции магнитного поля на оси соленоида
Будем рассматривать соленоид как совокупность узких колец с током. Одно из таких колец показано на рис. 6.10. Положение этого кольца определяется координатой x, которая изменяется в пределах от 0 до l, а его ширина равна dx. Так как рассматриваемое кольцо содержит ndx витков, круговой ток, текущий по кольцу, имеет силу di =Indx. (6.26) Этот ток создает магнитное поле, индукцию dB которого в на оси соленоида можно найти по формуле(6.24) dВ = μoa2di/(2 R 3) (6.27)
где расстояние от точки Р до кольца с током
R =Ö(a2 +(x-x)2) х - координата точки Р.
Индукция В магнитного поля, создаваемого в точке Р всеми витками соленоида, в силу принципа суперпозиции равна интегралу от выражения (6.27): В = μoIn a2/2
Для вычисления этого интеграла удобно ввести новую переменную нтегрирования - угол q. Как видно из рис. 6.10, уголqтаков, что R = adq/sin q (6.29) и x- х = a ctgq (6.30) Продифференцировав равенство (6.30) при х = const, получим dx = adq/sin2q (6.31) Подстановка выражений (6.29) и (6.31) под знак интеграла в формуле (6.28) дает В(x) = μoIn /2 где q1 и q2 - наибольшее и наименьшее значения угла q, зависящие от положения точки Р на оси соленоида. Интегрирование по формуле Ньютона - Лейбница приводит к выражению (6.32)
Выразим cos q1 и cosq2 через х для значений х, удовлетворяющих неравенству 0 < х < l, т.е. для точек, лежащих на оси х внутри соленоида. Из построений на рис. 6.11 найдем, что cos q1 = cos q2 = Подставив эти выражения в формулу (6.32), будем иметь зависимость В(x) = μoIn /2( + ) 6.33) Эта формула дает следующие значения магнитной индукции на торцах соленоида и в его середине: B(0) = В(l) = В(l/2 =) где D = 2 a - диаметр соленоида.
Нетрудно убедиться в том, что формула (6.33) справедлива для всех точек на оси соленоида. Согласно этой формуле магнитная индукция монотонно убывает до нуля при |х|® + ¥. График зависимости В = В(х), определяемый формулой (6.33), изображен на рис. 6.12. Интересно отметить, что при l|® + ¥ формула для магнитной В(l/2) индукции в середине соленоида переходит в полученное ранее выражение В=μoIn для магнитной индукции внутри бесконечного соленоида.
Рис. 6.11. К вычислению магнитной индукции поля в соленоиде В(х) B(0)
l x Рис. 6.12. Магнитная индукция на оси соленоида ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|