Главная | Обратная связь

Применение теоремы Гаусса

1. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Величину заряда, приходящуюся на единицу поверхности, называют поверхностной плотностью заряда s:

Пусть плоскость заряжена положительно с поверхностной плотностью заряда +s=const. Из соображений симметрии силовые линии имеют вид прямых, перпендикулярных плоскости и выходящих из положительных зарядов .

Найдем напряженность в точке A.

В соответствии с законом Кулона для нахождения величины в т. A нужно плоскость разделить на точечные заряды и потом суммировать величины , созданные каждым из этих зарядов. Эта процедура довольно сложная. Теорема Гаусса позволяет решить задачу по отысканию очень просто. Через т. A нужно провести замкнутую поверхность и найти поток через нее.

Поверхность обычно берут такой, чтобы максимально просто можно было бы вычислить ее площадь. В случае заряженной плоскости этой поверхностью является цилиндрическая, у которой образующая перпендикулярна плоскости. Поскольку линии перпендикулярны заряженной плоскости и угол aмежду вектором и нормалью к основаниям цилиндра равен нулю, следовательно, cosa=1. Для боковой же поверхности . Угол a’=90°, следовательно, cosa=0 и .

Итак, общий поток вектора через замкнутую цилиндрическую поверхность равен сумме потоков через два основания и и потоку через боковую поверхность :

где - берем элементарные площадки одинаковой величины.

Суммарный заряд внутри цилиндра

.

Тогда по теореме Гаусса запишем:

и получаем:

Найдем разность потенциалов поля между точками 1 и 2 на расстоянии x₁ и x₂ от плоскости. Воспользуемся соотношением . Векторы напряженности направлены по оси Ox, поэтому:

откуда получим:

 

2. Поле двух параллельных бесконечных равномерно заряженных плоскостей

Для рассматриваемого случая воспользуемся принципом суперпозиции электрических полей. Изобразим линии напряженности положительно заряженной плоскости сплошными линиями, отрицательно заряженной плоскости – пунктирными. Укажем направление силовых линий в областях I, II и III.

Результирующая напряженность в каждой области по принципу суперпозиции:

Напряженности, создаваемые каждой плоскостью в отдельности:

и .

Из рис. видно, что в области IIвекторы и сонапралены и при

В областях I и III векторы и направлены противоположно друг другу, т.е. и .

Найдем разность потенциалов между плоскостями. Обозначим расстояние между ними d и воспользуемся соотношением:

Интегрируя

получим

 

3. Поле бесконечной нити, заряженной с линейной плотностью l

Линейная плотность заряда – заряд, приходящийся на единицу длины:

 

Для нахождения в т. Aудобно выбрать замкнутую поверхность в виде цилиндра. Линии перпендикулярны нити, следовательно, поток вектора будет только через боковую поверхность цилиндра.

Следовательно,

.

Разность потенциалов между точками 1 и 2 поля, лежащими на расстоянии r₁ и r₂ от оси цилиндра:

 

3. Поле заряженной сферической поверхности

Проводим вокруг полой металлической сферы сферическую поверхность радиусом rA. Поток вектора через эту поверхность Тогда или

Видно, что выражение для получилось таким же, как и для точечного заряда.

Внутри сферы, например в т. B, величина =0, т.к заряд внутри сферы, проведенной через т. B, равен нулю. Величина и . Напряженность электрического поля меняется как показано на рисунке

Разность потенциалов

Шар, представляющий собой диэлектрик, может быть внутри равномерно заряжен с объемной плотностью . Поток вектора через поверхность радиусом r<R (R – радиус шара) равен Заряд внутри сферы радиусом rравен:

.

По теореме Гаусса

и

За пределами равномерно заряженного шара выражение для E_A будет таким же, как и полученное нами для полой сферы , только величина qбудет равняться rV:

Разность потенциалов для точек, лежащих на расстоянии r>R от центра шара:

и для точек, лежащих на расстоянии r<R от центра шара: