Теоретическое введение
Случайная величина. Понятие о статистическом распределении. В научных исследованиях, технике и массовом производстве часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными. Случайное явление – это явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному. Случайной называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. В природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовал бы в той или иной мере элемент случайности. Как бы точно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть полного и точного совпадения результатов при повторении опыта. Существуют такие задачи, где исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть их все. Однако если обратиться к совокупности большого числа явлений, то средние результаты обнаруживают устойчивые закономерности, свойственные именно массовым случайным явлениям. Примерами такого рода законов могут служить распределения молекул по скоростям (закон Максвелла) и по компонентам скоростей (описывается функцией Гаусса). Случайная величина называется дискретной, если она принимает счетное множество значений,например, число молекул в выделенном объеме газа, энергия электрона в атоме, число зерен в колосьях. Непрерывная случайная величина принимает любые значения внутри некоторого интервала: координата материальной точки, температура воздуха, масса зерен в колосьях. Элементы классической статистики. Пусть имеется макросистема, то есть система, состоящая из большого числа микрочастиц. Пусть какая-либо случайная дискретная величина х может принимать значения х1, х2, х3,…. Произведем N измерений величины х, приводя систему каждый раз перед измерением в одно и то же состояние. Вместо того, чтобы производить N измерений над одной системой, можно взять N одинаковых систем и измерять величину х один раз в каждой системе. Статистический ансамбль – это набор одинаковых систем, находящихся в одинаковом состоянии. Пусть при измерениях х значение х1 получено в N1 измерениях, значение х2 – в N2 измерениях и т.д. Очевидно, . (11.1) Вероятность pi (или р(хi)) появления результата хi – это , причем из (11.1) следует условие нормировки (11.2): . (11.2) Из определения вероятности следует, что 0≤р≤1, причем р=0 для невозможного события и р=1 для достоверного события. Два событиянесовместны,если их одновременное осуществление невозможно (например, выпадение 1 и 3 при однократном бросании кости). Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления второго. Математическая вероятность подчиняется определенным закономерностям. Закон сложения вероятностей: вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей. То есть, вероятность р(хi или хj) получить результат хi или хj равна сумме их вероятностей: р(хi или хj)= р(хi)+ р(хj). (11.3) Например, вероятность выпадения четного числа при однократном бросании игральной кости р(2 или 4 или 6)=р(2)+р(4)+р(6)=1/6+1/6+1/6=1/2. Закон умножения вероятностей: вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей. р(хi и хj)= р(хi) р(хj). (11.4) Например, при бросании двух игральных костей вероятность получить сумму чисел на гранях 12 равна р(6 и 6)= . Во многих случаях наряду с распределением случайной величины или вместо него информацию об этих величинах могут дать числовые параметры, или числовые характеристики случайной величины. Это – математическое ожидание М, дисперсия D и среднее квадратическое отклонение σ.Среднее арифметическое значение дискретной случайной величины (11.5) при большом числе измерений (N→∞) стремится к математическому ожиданию . (11.6) Возможные значения дискретной случайной величины рассеяны вокруг ее математического ожидания, часть их превышает M(x), часть – меньше M(x). Дисперсия характеризует «разбросанность» случайной величины вокруг математического ожидания. (11.7) Среднее квадратическое отклонение, по определению: . (11.8) Непрерывную случайную величину нельзя задать тем же законом распределения, что и дискретную. Введем f(x) – функцию распределения вероятностей случайной величины – следующим образом. Пусть dP – вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значения в интервале от x до x+dx. Очевидно, что чем больше интервал dx, тем больше и вероятность dP: dP прямо пропорциональна dx. Кроме того, вероятность должна зависеть и от самой случайной величины x, вблизи которой расположен интервал, поэтому dP= f(x)dx, (11.9) где f(x) – плотность вероятности, т.е. функция, показывающая, как изменяется вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, от значения самой этой величины: (11.10) Вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение в интервале от a до b, получается интегрированием функции: (11.11) Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет вид: . (11.12) Замечание к формуле (11.12): интегрирование должно производиться по всей области определения функции. Для непрерывной случайной величины математическое ожидание M(x) (среднее значение х) и дисперсия D(x) записываются соответственно в виде: , (11.13) , (11.14) а среднее значение любой функции φ(х) равно: . (11.15) ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|