Главная | Обратная связь

Примеры решения задач по механике

1. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выражаемому формулой j = 10 + 20 t - 2 t². Найти по величине и направлению полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

Решение. Точка вращающегося тела описывает окружность. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории:

. (1)

Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

а_t = e r ; (2)

(3)

где w - угловая скорость тела; e - его угловое ускорение; r - расстояние точки от оси вращения. Подставляя выражения а_tи a_n в формулу (1), находим:

. (4)

Угловая скорость w вращающегося тела равна первой производной от угла поворота по времени: . В момент времени t = 4 с угловая скорость w = (20 - 4 ^. 4) с ^-1 = 4 с ^-1. Угловое ускорение вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени: Это выражение углового ускорения не содержит времени; следовательно, угловое ускорение имеет постоянное значение, не зависящее от времени.

Подставляя найденные значения wи e и заданное значение r в формулу (4), получим: м/с² = 1,65 м/с².

Направление полного ускорения определится, если найти углы, которые вектор ускорения образует с касательной к траектории или с нормалью к ней (рис.1):

(5)

(6)

По формулам (2) и (3) найдем значения а_tи a_n:

а_t = -4 ^. 0,1 м/с² = -0,4 м/с², a_n = 4^{2 .} 0,1 м/с² = 1,6 м/с².

Подставляя эти значения и значение полного ускорения в формулы (5) и (6):

;

.

Пользуясь тригонометрическими таблицами, найдем значения искомых углов:

2. Мяч брошен со скоростью u ₀ = 10 м/с под углом a= 40⁰ к горизонту. На какую высоту h поднимется мяч? На каком расстоянии l от места бросания он упадет на землю? Какое время t он будет в движении?

Найдем высоту h, на которую поднимется мяч, брошенный cо скоростью u ₀ под углом a к горизонту. Имеем (рис 2)

u_у = u₀ sin a - g t, (1)

S_у = (u₀ sin a ) t - g t² l 2 (2)

В верхней точке u ₀ = 0, из (1) получим u ₀ sin a = g t₁; отсюда время подъема мяча t₁ = (u ₀ sin a) / g. Подставляя t₁ в (2), получим

h = S_y = (u ₀² sin² a) / 2 g = 2,1 м.

Найдем дальность полета l мяча. Имеем (рис 2)

u_x = u ₀ cos a, (3)

S _x= u_x t = (u₀ cos a) t (4)

Мяч упадет на землю через время t₂ = 2 t₁ = 2(u ₀ sin a) / g . Подставляя t₂ в (4), получим l = S_x = (u ₀² sin 2a) / g = 10,0 м. Время полета мяча

t₂ = 2t₁ = 2(u₀ sin a)/g = 1,3 c.

3. Колесо радиусом R = 10,0 см вращается с угловым ускорением

e = 3,14 рад/с². Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: а) угловую скорость w; б) линейную скорость u; в) тангенциальное ускорение а_{t ;} г) нормальное ускорение а_n; д) полное ускорение а; е) угол j , составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса.

а) При равнопеременном вращательном движении угловая скорость w связана с временем t уравнением w = w₀ ± e t. По условию w₀ = 0 и тогда w=e t, т.е. угловая скорость растет пропорционально времени; при t = 1 с имеем w = 3,14 рад/с.

б) Так как u = w R, то линейная скорость также пропорциональна времени; t = 1 c имеем u = 0,314 м/с.

в) Тангенциальное ускорение a_t = e R не зависит от t, т.е. постоянно во все время движения; при t = 1с имеем a_t = 0,314 м/c².

г) Нормальное ускорение a_n= w²R= e²t² R, т.е. растет пропорционально квадрату времени; при t = 1 с имеем a_n = 0,986 м/с².

д) Полное ускорение растет со временем по закону

при t = 1 с имеем а = 1,03 м/с².

е) Имеем sin j = a_t /a , где j -угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса. В начальный момент t = 0 имеем

a = a_t – полное ускорение направлено по касательной. При t = ¥ имеем

a = a_n (так как a_t = const и a_n пропорционально квадрату времени) – полное ускорение направлено по нормали. К концу первой секунды sin j = a_t / a_n = =0,314 / 1,03 = 0,305 и j = 17°46¢.

4. Какой массы m_x балласт надо сбросить с равномерно опускающегося аэростата, чтобы он начал равномерно подниматься с той же скоростью? Масса аэростата с балластом m = 1600 кг, подъемная сила аэростата F = 12,00 кН. Считать силу сопротивления F_сопр воздуха одной и той же при подъеме и при спуске.

На опускающийся аэростат (с балластом) действуют подъемная сила F (вверх), сила сопротивления воздуха F_сопр (вверх) и сила тяжести m g (вниз) . Так как аэростат движется равномерно, то по первому закону Ньютона равнодействующая сила равна нулю:

F + F_conp= m g. (1)

Когда балласт сброшен и аэростат начнет подниматься, вместо уравнения (1) будем иметь

F =F_conp + (m - m_x) g;(2)

решая (1) и (2) совместно, получим m_x = 2 (m – F / g) = 800 кг.

5. Автомобиль массой m = 1020 кг, двигаясь равнозамедленно, останавливается через время t = 5,00 с, пройдя путь s = 25,0 м. Найти начальную скорость u₀ автомобиля и силу торможения F.

Задачу можно решить двумя способами.

1). По второму закону Ньютона

F = m a, (1)

где F - сила торможения, m - масса автомобиля, а -его ускорение. Из уравнений кинематики равнопеременного движения получим

a = 2 s / t², (2)

u₀ = 2 s / t = 36 км/ч. (3)

Подставляя (2) в (1), имеем

F = 2 s m / t ² = 2,04 кН (4)

2). Используем закон сохранения энергии. Убыль кинетической энергии равна работе силы торможения

m u₀² / 2 = F s. (5)

Но из уравнений кинематики имеем u₀ = 2 s / t. Подставляя (3) в (5), получим, как и раньше, F = 2 s m / t ².

6. На автомобиль массой m = 1 т во время движения действует сила трения F_тр, равная 0,1 действующей на него силы тяжести m g. Найти силу тяги F, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с постоянной скоростью: а) в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути; б) под гору с тем же уклоном.

а) Сила тяги, развиваемая мотором автомобиля, поднимающегося в гору, идет на преодоление силы трения и составляющей силы тяжести, параллельной перемещению: F = F_ТР + m g sin a , причем F_TP = k mg cos a. Таким образом, сила тяги F = m g (k cos a + sin a) = 1,37 кН.

б) Для автомобиля, движущегося под гору, сила тяги

F = m g (k cos a – sin a) = 0,59 кН.

Если сила трения меньше составляющей силы тяжести, параллельной перемещению, т.е. если k m g cos a < m g sin a, то F < 0. В этом случае, чтобы осуществить равномерное движение автомобиля под гору, необходимо приложить задерживающую силу. При отсутствии этой силы автомобиль будет двигаться под гору с ускорением a = g (sin a - k cos a).

7. На рельсах стоит платформа массой m₁ = 10 т. На платформе закреплено орудие массой m₂ = 5т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m₃ = 100 кг; его начальная скорость относительно орудия u₀ = 500 м/с. Найти скорость платформы и в первый момент после выстрела, если а) платформа стояла неподвижно; б) платформа двигалась со скоростью u =18 км/ч и выстрел был произведен в направлении ее движения; в) платформа двигалась со скоростью u = 18 км/ч и выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению ее движения.

Согласно закону сохранения импульса

(m₁ + m₂ + m₃) u = m₃ (u +u₀ )+ (m₁ + m₂ ) u

(скорость снаряда относительно Земли равна u + u₀). Отсюда

.

Спроецировав векторы на ось х, совпадающей по направлению с вектором u₀, получим

а) u, а следовательно и u_х, равна нулю; u_x= –12 км/ч. Проекция u на ось х получилась отрицательной. Это означает, что вектора u₀ и u противоположны.

б) u_х = u; u_x = 6 км/ч. Платформа движется в первоначальном направлении, но с меньшей скоростью.

в) u_х = – u; u_x= – 30 км/ч. Платформа движется в первоначальном направлении с большей скоростью.

8. Шар массой m₁=3 кг движется со скоростью u = 4 м/с и ударяется о неподвижный шар такой же массы. Считая удар центральным и абсолютно неупругим, найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе.

Первый шар до удара обладал кинетической энергией E₁ = m₁ u² / 2. После удара шары начали двигаться с общей скоростью u = m₁u / (m₁ + m₂). Кинетическая энергия обоих шаров после удара стала E₂ = (m₁ + m₂) u² / 2 = =m₁² u² / 2 (m₁ + m₂). Разность E₁ – E₂ равна количеству теплоты Q, выделившейся при ударе:

Дж.

9. Найти первую космическую скорость u₁, т.е. скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно начало двигаться вокруг Земли по круговой орбите в качестве ее спутника.

Сила гравитационного взаимодействия между телом и Землей F=GmM/r², где M - масса Земли и r -расстояние тела от центра Земли. У поверхности Земли r равно радиусу Земли R и F = mg. Следовательно,

F = m g= = G m M / R².

При движении тела вокруг Земли по орбите сила гравитационного взаимодействия является центростремительной силой. Таким образом, F = m u₁² / R;

отсюда первая космическая скорость м/с.

10. Найти линейные ускорения а центров шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости j = 30°, начальная скорость всех тел u₀ = 0. Сравнить найденные ускорения с ускорением тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.

При скатывании тела с наклонной плоскости его потенциальная энергия переходит в кинетическую. Таким образом,

, (1)

где J - момент инерции тела и m - его масса. Но

h = l sin j, w = u / R. (2)

Подставляя (2) в (1), получим

(3)

Так как движение тел происходит под действием постоянной силы, то движение тел равноускоренное, поэтому

l = a t² / 2, u = a t . (4)

Решая (3) и (4) совместно, получим

(5)

Подставляя в (5) выражения для момента инерции различных тел, найдем для шара, диска и обруча соответственно

a₁ = 3,50 м/с², а₂ = 3,27 м/с², а₃ = 2,44 м/с².

Для тела, соскальзывающего с наклонной плоскости без трения, имеем a = g sin j = 4,9 м/с².

11. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n₁ = 10 об/мин. Человек массой m₀ = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n₂ начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека ^_ точечной массой.

На основании закона сохранения момента количества движения имеем

J₁ w₁ = J₂ w₂, (1)

где J₁ - момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее краю,

J₂ - момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре платформы, w₁ и w₂ -угловые скорости платформ в первом и во втором положениях человека. При этом

J₁= m R₂ / 2 + m₀ R₂, J₂ = m R₂ / 2, (2)

где R -радиус платформы. Подставляя (2) в (1) и учитывая, что w = 2p n, где n - частота вращения платформы, получим

(m R² / 2 + m₀ R²) 2 p n₁ = 2p n₂ m R² / 2,

откуда об/мин.

12. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m = 20 г поднялась на высоту h = 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на s = 10 см. Массой пружины пренебречь.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии в механике. Но прежде проследим за энергетическими превращениями, с которыми связан выстрел.

При зарядке пистолета сжимается пружина. При этом совершается работа А₁, в результате чего пружина приобретает потенциальную энергию П₁. При выстреле потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию Т₂ пули, а затем при подъеме ее на высоту h превращается в потенциальную энергию П₂ пули.

Если пренебречь потерями энергии в этой «цепочке» энергетических превращений, то на основании закона сохранения энергии можно записать

А₁ = П₂ . (1)

Выразим работу А₁. Сила F₁ , сжимающая пружину, является переменной - в каждый данный момент она по направлению противоположна силе упругости F и численно равна ей. Сила упругости, возникающая в пружине при ее деформации, определяется по закону Гука

F = – k x , (2)

где х - абсолютная деформация пружины.

Работу переменной силы вычислим как сумму элементарных работ. Элементарная работа при сжатии пружины на d x выразится формулой

d A = F₁ d x ,

или

d A = k x d x .

Интегрируя в пределах от 0 до s, получим

. (3)

Потенциальная энергия пули на высоте h определится по формуле

П₂ = m g h , (4)

где g - ускорение свободного падения.

Подставив в (1) А₁ по (3) и П₂ по (4), найдем , откуда

Проверим, дает ли полученная формула единицу измерения жесткости k. Для этого в правую часть формулы (5) вместо величин подставим единицы их измерения

.

Теперь можем подставить в (5) числовые значения и произвести вычисления .

Задачи для самостоятельного решения

1. Тело брошено со скоростью u₀ под углом к горизонту. Время полета t = 2,20 с. На какую высоту h поднимется тело? (Ответ: h = 5,9 м)

2. Точка движется по окружности радиусом R = 2,00 см. Зависимость пути от времени дается уравнением s = C t ³, где С = 0,1000 см /с³. Найти нормальное а_п и тангенциальное a_t ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки u = 0,300 м /с. (Ответ: а_п = 4,50 м/с²; a_t = 0,060 м/с²)

3. Стальная проволока выдерживает силу натяжения Е = 4,40 кН. С каким наибольшим ускорением а можно поднимать груз массой m = 400 г, подвешенный на этой проволоке, чтобы она не разорвалась? (Ответ: а = 1,25 м/с²)

4. Поезд массой m = 500 т, двигаясь равнозамедленно, в течение времени t = 1,00 мин уменьшает свою скорость от u₁ = 40 км/ч до u₂ = 28 км/ч. Найти силу торможения F. (Ответ: F = 28 кН)

5. Какую силу F надо приложить к вагону, стоящему на рельсах, чтобы вагон стал двигаться равноускоренно и за время t = 30,0 с прошел путь s = 11.0 м? Масса вагона m = 16,0 т. Во время движения на вагон действует сила трения F_тр, равная 0,0500 действующей на него силы тяжести m g. (Ответ: F = 8,2 кН)

6. Молекула массой m = 4,65^.10^-26 кг, летящая со скоростью u = 600 м/с, ударяется о стенку сосуда под углом a = 60° к нормали и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найти импульс, полученный стенкой за время удара. (Ответ:D Р = 2,8 ^. 10 ^{– 23} кг м / с)

7. На автомобиль массой m = 1т во время движения действует сила трения F_тр, равная 0,1 действующей на него силы тяжести mg. Найти силу тяги F, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с ускорением а = 1 м/c² в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути. (Ответ: F = 2,37 кН)

8. Тело скользит сначала вниз по наклонной плоскости, составляющей угол a = 8° с горизонтом, а затем по горизонтальной поверхности. Найти коэффициент трения k на всем пути, если известно, что тело проходит по горизонтальной поверхности то же расстояние, что и по наклонной плоскости. (Ответ: k = 0,07).

9. Два шара движутся навстречу друг другу и соударяются абсолютно не упруго. Скорости шаров до удара были u₁ = 2 м/с и u₂ = 4 м/с. Общая скорость шаров после удара u = 1 м/с и по направлению совпадает с направлением скорости u₁. Во сколько раз кинетическая энергия Е_к1 первого шара была больше кинетической энергии Е_к2 второго шара? (Ответ: E_к1 / E_k2 = 1,25).

10. Движущийся шар массой m₁ ударяется о неподвижный шар массой m₂. Каким должно быть отношение масс m₁ /m₂, чтобы при центральном абсолютно упругом ударе скорость первого шара уменьшилась в 1,5 раза? С какой кинетической энергией Е начнет двигаться при этом второй шар, если первоначальная кинетическая энергия первого шара Е_К1=1 кДж?

(Ответ: m₁ /m₂ = 5; E_К2 = 5/9 кДж)

11. Диск вращается вокруг вертикальной оси с частотой n = 30 об/мин. На расстоянии r = 20 см от оси вращения на диске лежит тело. Каким должен быть коэффициент трения k между телом и диском, чтобы тело не скатилось с диска? (Ответ: k = 0,2).

12. Найти вторую космическую скорость u₂ т.е. скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно преодолело земное тяготение и навсегда удалилось от Земли. (Ответ: км/с)

13. Диск массой m = 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью u = 4 м/с. Найти кинетическую энергию Е_к диска. (Ответ: Дж).

14. Какую работу А совершает человек при переходе от края платформы к ее центру в условиях предыдущей задачи? Радиус платформы R = 1,5 м. (Ответ: А = 162 Дж)

15. Точка движется по окружности радиусом 4 м. Закон ее движения выражается уравнением s = 8 - 2 t², где s - в метрах, t - в секундах. Найти: 1) в какой момент времени нормальное ускорение точки будет а_п = 9 м /с²; 2) чему равны скорость, тангенциальное и полное ускорения точки в этот момент времени. (Ответ: 1,5 с; - 6 м/с; - 4 м/с²; 9,84 м/с²)

16. Две материальные точки движутся согласно уравнениям

х₁ = 4 t + 8 t² - 16 t³ и х₂ = 2 t - 4 t² + t³ ,

где х - в метрах, t - в секундах. В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковыми? Найти скорость точек в этот момент. (Ответ: 0,235 с; 5,10 м/с; 0,286 м /с ).

17. Через блок, выполненный в виде колеса, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами m₁ = 100г и m₂ = 300 г. Массу колеса M = 200 г, считать равномерно распределенной по его ободу, массой спиц пренебречь. Определить: 1) ускорение, с которым будут двигаться грузы; 2) силы натяжения нити по обе стороны блока. (Ответ: 3,27м/с²; 1,31Н; 1,96Н)

18. Двум одинаковым маховикам, находящимся в покое, сообщили одинаковую угловую скорость w = 10об/си предоставили их самим себе. Под действием сил трения первый маховик остановился через одну минуту, а второй сделал до полной остановки N = 360оборотов. У какого маховика тормозящий момент был больше и во сколько раз? (Ответ: у первого больше в 1,2 раза)

19. Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси, делая п₁ = 15 об/мин. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, она стала делать п₂ = 25 об/мин. Масса человека m = 70кг. Определить массу М платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. (Ответ:210 кг)

20.Стержень, нижний конец которого скользит по горизонтальной плоскости, падает из вертикального положения. С какой скоростью упадет на землю верхний конец, если l = 1м? (Ответ: м/с)