Главная | Обратная связь

Основные теоретические сведения

На практике необходимы устройства, позволяющие при малых габаритах накапливать (конденсировать) большие заряды. Этим требованиям удовлетворяют конденсаторы: системы из двух проводников. Образующие конденсатор проводники называют обкладками. Внешние поля не должны оказывать влияния на способность конденсировать заряды. Для этого обкладкам придают такую форму и располагают друг относительно друга так, чтобы поле, создаваемое зарядами на обкладках, было сосредоточено между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют: две параллельные пластины из проводящего материла, расположенные на малом расстоянии друг от друга, два коаксиальных цилиндра, две концентрических сферы. Соответственно конденсаторы называют: плоскими, цилиндрическими и сферическими (рис. 2.1). Конденсаторы находят широкое применение в электротехнических и радиотехнических устройствах.

Способность накапливать заряды называется электрической ёмкостью, которая определяется по формуле

, (2.1)

где – величина заряда на каждой обкладке конденсатора; – разность потенциалов между обкладками. Т.е. ёмкость численно равна заряду, который необходимо сообщить обкладкам для того, чтобы разность потенциалов возросла на единицу. Единицей электроёмкости является фарад (Ф). Фарад – это электроёмкость такого конденсатора, передача которому заряда в один кулон изменяет его разность потенциалов на один вольт .

Рис. 2.1. Типы конденсаторов: плоский (а), сферический (б) и цилиндрический (в)

Получим формулу ёмкости плоского конденсатора (рис. 2.1а), площадь обкладки которого S, зазор между пластинами d мал по сравнению с линейным размером обкладки . Поле внутри такого конденсатора можно считать однородным и можно пренебречь краевыми эффектами. Напряжённость поля внутри конденсатора , где ­– поверхностная плотность распределения заряда на обкладке. Разность потенциалов между обкладками найдём, выбрав линию интегрирования вдоль силовой линии поля . Отсюда ёмкость плоского конденсатора . Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, то напряжённость поля уменьшится в раз ( – диэлектрическая проницаемость среды), а ёмкость увеличится в раз и станет равной

. (2.2)

Электроёмкость конденсатора при заданных геометрических размерах может меняться в широких пределах в зависимости от диэлектрической проницаемости диэлектрика. Диэлектрическая проницаемость современных керамических материалов достигает порядка .

Получим формулу сферического конденсатора, радиус внутренней сферической обкладки которого равен a, внешней – b. Поле, возникающее между обкладками, описывается формулой напряжённости поля точечного заряда (при значениях удовлетворяющих условию ). Выбрав линию интегрирования вдоль радиуса, найдём

, (2.3)

отсюда ёмкость конденсатора

. (2.4)

Если , то и , что есть ёмкость уединённой сферы. Если величина зазора мала по сравнению с радиусами обкладок, то и . Тогда , где – площадь сферической обкладки. Полученная формула совпадает с формулой ёмкости плоского конденсатора.

Ёмкость цилиндрического конденсатора на единицу длины

Рис. 2.2. Параллельное соединение конденсаторов

. (2.5)

Энергия, запасённая в конденсаторе, определяется по формуле

. (2.6)

На практике применяется параллельное, последовательное и комбинированное соединение конденсаторов. При параллельном соединении конденсаторов (рис. 2.2) разность потенциалов на каждом конденсаторе одинакова и равна .

Заряд, накопленный на всех конденсаторах . Согласно формуле (2.1) ёмкость такой системы

. (2.7)

Рис. 2.3. Последовательное соединение конденсаторов

При последовательном соединении конденсаторов (рис. 2.3) заряды на каждом конденсаторе одинаковы, а суммарное падение напряжения

. (2.8)

Полная ёмкость такого соединения определяется из соотношения:

. (2.9)

Рис. 2.4. Схема цепи с конденсатором

Рассмотрим процесс разряда конденсатора в цепи, электрическая схема которой представлена на рис. 2.4.

При замкнутом ключе конденсатор заряжен до разности потенциалов батареи, заряд на конденсаторе . После размыкания ключа заряды стекают через сопротивление . Через сопротивление течёт уменьшающийся по мере разряда конденсатора ток .

В любой момент времени при разряде конденсатора разность потенциалов между его обкладками равна .

Из равенства падений напряжений на конденсаторе и сопротивлении следует:

. (2.10)

Разделяя переменные в уравнении (2.10), получим

. (2.11)

Интегрируя и потенцируя выражение (2.11), с учётом начальных условий, находим

. (2.12)

Величина называется постоянной времени для данной цепи. Ёе значение определяет время уменьшения заряда в e раз (e 2,71).

Согласно формуле (2.1) для вычисления величины ёмкости при заданном напряжении необходимо определить заряд конденсатора. Это можно сделать двумя способами: методом баллистического гальванометра или регистрируя изменение тока разряда конденсатора со временем.

Первый метод применим, когда время разряда конденсатора в данной цепи намного меньше периода собственных колебаний рамки магнитоэлектрического измерительного прибора . Такой прибор называется баллистическим гальванометром. При протекании кратковременного тока I по рамке, помещённой между полюсами постоянного магнита, рамка получает импульс момента M амперовых сил

, (2.13)

где B – магнитная индукция поля постоянного магнита, S – площадь рамки, N – количество витков в рамке, q – определяемый электрический заряд, прошедший через рамку гальванометра.

Если , то можно считать, что за время рамка успевает лишь приобрести начальный момент импульса и начальную угловую скорость . С учётом выражения (2.13) получим

. (2.14)

Тогда начальная кинетическая энергия подвижной системы гальванометра с учётом соотношения (2.14) равна

. (2.15)

Движение рамки сопровождается переходом кинетической энергии подвижной системы в потенциальную энергию упругой деформации пружины, равную . С учётом соотношения , где – постоянный коэффициент, а угол – угол поворота рамки, получим

. (2.16)

При максимальном угле поворота подвижной системы вся её кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию сжатой пружины. Приравнивая выражения (2.15) и (2.16), находим

, (2.17)

где – величина, постоянная для данного прибора.

Из формулы (2.17) следует, что заряд, прошедший через баллистический гальванометр, пропорционален максимальному углу поворота его подвижной системы из положения равновесия. В этом случае отброс стрелки гальванометра будет пропорционален заряду на конденсаторе, а при постоянном напряжении также и ёмкости конденсатора согласно формуле (2.1). Следовательно, ёмкость конденсатора пропорциональна числу делений, на которое совершает отброс стрелка гальванометра:

, (2.18)

где – число делений, – коэффициент пропорциональности.

Имея эталонный конденсатор известной ёмкости C, можно определить цену деления гальванометра при измерении ёмкостей по формуле

. (2.19)

Зная цену деления , по отбросу стрелки гальванометра можно определить ёмкость любого другого конденсатора при соблюдении условия .

При применяется второй метод определения заряда конденсатора. Заряд конденсатора при этом определяется по формуле:

. (2.20)

В этом случае заряд конденсатора будет равен площади под кривой зависимости разрядного тока от времени.

Описание установки

Принципиальная электрическая схема лабораторной установки представлена на рис. 2.5. Переключатель П₁ – «Выбор ёмкости» позволяет включать в цепь заряда-разряда различные ёмкости C, C_x и C₀. Переключатель П₂ – «Разряд ёмкости» при заданном положении переключателя П₁ позволяет включить цепь заряда или разряда конденсатора. Переключатель П₃ позволяет подключить ёмкости C₁ и C₂ последовательно или параллельно.