Главная | Обратная связь

Тема 2. Множества. Отношения. Отображения.

Основные понятия

Множеством называется совокупность каких-либо объектов.

Это определение нельзя считать строгим, так как понятие множества является исходным понятием математики и не может быть определено через другие математические объекты. Один из основателей теории множеств Г. Кантор определял множество так: «Множество есть многое, мыслимое как целое».

Пример.

Следующие совокупности объектов являются множествами: множество деревьев в лесу, множество целых чисел, множество корней уравнения e^xsinx = 0.5.

Всякое множество состоит из элементов. Множества обозначают большими буквами, например А. В, С, а элементы – маленькими буквами, например, а, b, c.

Множество и его элементы обозначаются следующим образом:

А = {a₁, a₂, a₃} – множество, состоящее из трех элементов;

А = {a₁, a₂, …} – множество, состоящее из бесконечного числа элементов.

Множество может состоять из элементов, которые сами являются множествами. Нужно различать элемент a и множество, состоящее из единственного элемента a.

Пример.

Множество А = {1, 2} состоит из двух элементов 1, 2; но множество {А} состоит из одного элемента А.

Если элемент a принадлежит множеству А, это записывается следующим образом: a Î А. Если элемент a непринадлежит множеству А, то записывают так: a Ï А.

Если все элементы множества А являются элементами множества В и наоборот, т. е. множества А и В совпадают, то говорят, что А = В. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, говорят, что множество А является подмножеством множества В,и записывают А Í В или В Ê А. Отметим, что по определению само множество А является своим подмножеством, т.е. А Í А.

Если А Í В и В Í А, то по ранее введенному определению А = В.

Если А Í В и А ¹ В, то А есть собственное подмножество В, А Ì В. Если А не является собственным подмножеством В, то записывают А Ë В.

Пример.

Пусть А – множество четных чисел, В – множество целых чисел, С –множество нечетных чисел. Тогда

А Ì В, С Ì В, А Ë С, В Ë А.

Следует разделять отношение принадлежности (Î) и отношение включения (Í).

Пример.

Пусть А = {2} – множество, состоящее из одного элемента, В = {{2}, {4}} – множество, состоящее из двух элементов, каждое из которых является одноэлементным множеством. Тогда имеют место следующие соотношения:

2 Î {2}; {2} Ì {{2}, {4}}; 2 Ï {{2}, {4}}.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Æ. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества, Æ Í А, где А – любое множество. Таким образом, всякое множество содержит в качестве своих подмножеств пустое множество и само себя.

Пример.

Множество корней уравнения sin(x) = 2 является пустым.

Множество всех подмножеств данного множества А называется множеством-степенью и обозначается P(A). Множество P(A) состоит из 2ⁿ элементов.

Пример.

Пусть множество А = {1, 2} состоит из двух элементов 1, 2. Тогда множество P(A) включает в себя пустое множество Æ, два одноэлементных множества {1} и {2} и само множество А = {1, 2}, т. е. P(A) = {Æ, {1}, {2}, {1, 2}}. Мы видим, что множество P(A) состоит из четырех элементов (4 = 2²).

Существуют следующие способы задания множеств.

1. Перечислением элементов множества. Например:

A = {1, 3, 5, 7, 9} – конечное множество;

Таким способом возможно задание только конечных множеств.

2. Указанием свойств элементов множества. Для этого способа пользуются следующим форматом записи: A = {açуказание свойства элементов}. Здесь a является элементом множества A, a Î А.Например:

A = {a ça – простое число} – множество простых чисел;

B = {b çb² – 1 = 0, b – действительное число} – множество, состоящее из двух элементов,

B = {–1,1};

Z = {x / = 1}– множество, состоящее из одного числа, x = 0.

3. Алгоритмическое порождение элементов множества – задается алгоритм, на основе которого определяются значения элементов множества.

Способы 2 и 3 используются для задания как конечных, так и бесконечных множеств.