 |
|
Операции над множествами
Рассмотрим основные операции над множествами.
1. Объединением множеств А и В называется множество АÈВ, все элементы которого являются элементами хотя бы одного из множеств А или В:
АÈВ = {x / xÎ АﭙÚxÎВ}.
Из определения следует, что А Í АÈВ и В Í АÈВ.
Аналогично определяется объединение нескольких множеств
2. Пересечением множеств А и В называется множество АÇВ, все элементы которого являются элементами обоих множеств А и В:
АÇВ = {x / xÎ А ÙxÎВ}.
Из определения следует, что АÇВ Í А, АÇВ Í В и АÇВ Í АÈВ.
Аналогично определяется пересечение нескольких множеств.
Может оказаться, что множества не имеют ни одного общего элемента. Тогда говорят, что множества не пересекаются или что их пересечение – пустое множество.
3. Разностью множеств A и B называется множество А \ В, все элементы которого являются элементами множества А, но не являются элементами множества В:
А \ В = {x / xÎ А ÙxÏВ}.
4. Симметрической разностью множеств А и В называется множество А + В:
А + В = (А \ В) È (В \ А).
Универсальным множеством называется такое множество U, что все рассматриваемые в данной задаче множества являются его подмножествами.
5. Дополнением множества А называется множество 
всех таких элементов x Î U, которые не принадлежат множеству А: = U \ A.
Примеры.
1. Пусть А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}. Тогда АÈВ = {2, 4, 5, 6}.
2. Пусть А – множество чисел, которые делятся на 2, а В – множество чисел, которые делятся на 3: А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}. Тогда АÈВ множество чисел, которые делятся на 2 или на 3: АÈВ = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, …}.
3. Пусть А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}. Тогда АÇВ = {4, 6}.
4. Пусть А – множество чисел, которые делятся на 2, а В – множество чисел, которые делятся на 3: А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}. Тогда АÇВ множество чисел, которые делятся и на 2 и на 3: АÈВ = {6, 12, 18, …}.
5. Пусть А = {1, 2}, В = {2, 3}, C = {3, 4}. Тогда АÇВÇC =Æ.
6. А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}. Тогда А \ В = {4, 5}, В \ А= {2}.
7. А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}. Тогда А \ В –множество чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3, а В \ А – множество чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2: А \ В = {2, 4, 8, 10, 14, …}. В \ А= {3, 9, 15, 21, 27, …}.
8. Пусть А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}. Тогда А \ В = {4, 5}, В \ А= {2}, А + В = {2, 4, 5}.
9. А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}, А \ В = {2, 4, 8, 10, 14, …}. Тогда В \ А= {3, 9, 15, 21, 27, …}, А + В = {2, 3, 4, 8, 9, …}.