Вычисление суммы сходящегося числового ряда.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московский государственный университет

Приборостроения и информатики

Кафедра высшей математики

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ (решение задач)

Учебное пособие для студентов всех форм обучения для самостоятельной подготовки к выполнению контрольных работ.

Москва 2005

автор Зюзько Т.Н., редактор Выборнов А.Н.

В пособии излагаются основные методы исследования числовых рядов на сходимость, нахождения областей сходимости степенных рядов, применения рядов к приближенным вычислениям. Приведены примеры решения различных типов задач. Пособие может использоваться как дополнительное пособие по развитию навыков решения задач.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Основные определения. Необходимое условие сходимости ряда.

Вычисление суммы сходящегося числового ряда.

Прежде чем приступить к решению задач дадим основные определения.

Определение 1. Пусть -- последовательность действительных чисел. Выражение вида:

называется числовым рядом.

Сумму первых слагаемых называют -ой частичной суммойряда и обозначают :

К примеру,

Частичные суммы ряда образуют бесконечную числовую последовательность.

Выражение изначально определенного смысла не имеет, потому что действие сложения производится над конечным числом слагаемых. Этот смысл выражению предстоит приписать нам самим.

Введем понятие суммы ряда.

Определение 2. Суммой числового ряда называется предел последовательности частичных сумм ряда , если этот предел существует и конечен:

Числовой ряд при этом называется сходящимся.

В противном случае, т.е. если равен бесконечности или не существует, то

ряд называется расходящимся.

Определение 3. Пусть дан ряд .

Ряд , полученный из исходного отбрасыванием первых членов называется -м остатком ряда.

Можно доказать, что если , то ряд сходится (существует конечная сумма ) и наоборот: остаток сходящегося ряда стремится к нулю с увеличением номера .

Основной целью теории числовых рядов является установление факта сходимости или расходимости тех или иных рядов и вычисление суммы сходящихся рядов. При этом найти точное значение суммы ряда удается далеко не всегда. В этом случае используются методы приближенного вычисления суммы ряда.
Существует довольно много приемов, позволяющих устанавливать сходимость рядов. Такие приемы называются признаками сходимости. К рассмотрению некоторых из них мы и приступаем.

Теорема (необходимое условие сходимости числового ряда).

Если ряд сходится, то его общий член должен стремиться к нулю, т.е.

Из необходимого условия следует, что если -ый член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится. Именно это утверждение удобно использовать для решения задач.

Отметим, что необходимое условие не является достаточным, т.е. если , то о сходимости ряда ничего сказать нельзя: он может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Задача №1. Исследовать ряд на сходимость .

Решение.

Используя необходимый признак сходимости, делаем вывод о том, что ряд расходится, поскольку -ый член ряда не стремится к нулю.

Ответ: ряд расходится.

Задача №2. Исследовать ряд на сходимость .

Решение. Общий член ряда

Следовательно, ряд расходится по необходимому условию. Здесь для вычислений использовали первый замечательный предел: .

Ответ: ряд расходится.

Задача №3. Исследовать ряд на сходимость .

Решение.

не существует.

Ряд расходится – не выполнено необходимое условие сходимости.

Ответ: ряд расходится.

Приведем пример ряда, для которого необходимое условие выполнено, однако ряд не сходится:

Задача №4.Исследовать ряд на сходимость .

Решение.

Необходимое условие для данного ряда выполняется, поэтому он может быть или сходящимся, или расходящимся. Докажем, что этот ряд на самом деле расходится. Оценим частичную сумму ряда снизу:

Таким образом,

и .

Тогда по определению суммы ряда имеем:

Ответ: ряд расходится.

Задача №5. Исследовать ряд на сходимость .

Решение. Воспользуемся необходимым условием и найдем предел -го члена ряда:

Ответ: ряд расходится.

В предыдущих задачах нашей целью было установить сам факт существования суммы ряда. Рассмотрим задачи, в которых удается вычислить точное значение суммы ряда.

Пусть дан числовой ряд , составленный из членов геометрической прогрессии. Здесь -- первый член прогрессии, -- знаменатель прогрессии. Если знаменатель прогрессии удовлетворяет условию , то прогрессия называется бесконечно убывающей, а ряд, составленный из членов такой прогрессии, сходится, причем сумма ряда равна: