Ряд Тейлора. Использование степенных рядов в приближенных вычислениях. ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
Рассмотрим задачу разложения некоторой функции в степенной ряд. Пусть задана функция , имеющая на некотором интервале производные всех порядков, тогда она разлагается на этом интервале в ряд вида , который называется рядом Тейлора. Здесь -- заданное число. Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая в окрестности точки имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться к породившей ее функции только при тех значениях , при которых остаток ряда стремиться к нулю: . Остаток ряда Тейлора записывается в форме Лагранжа следующим образом: , где заключено между и . Если , то получаем частный случай ряда Тейлора, который иногда называют рядом Маклорена: . Рассмотрим ряды Тейлора для некоторых элементарных функций. -- данный ряд называется биномиальным, поскольку при натуральном из него получается формула степени бинома. Подчеркнем, что степенные ряды для функций сходятся к соответствующим функциям при , а степенные ряды для функций и сходятся лишь при . (Для при ).
Задача №1.Написать разложение в степенной ряд функции . Решение. В качестве исходной формулы возьмем разложение в ряд Маклорена функции : . Заменим на : Ответ:
Задача №2.Написать разложение в степенной ряд функции . Решение. Запишем биномиальный ряд и сделаем в нем замену : . По условию , подставим это значение в предыдущую формулу: Ответ: . Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. Рассмотрим применение рядов Тейлора для приближенного вычисления значений функций, значений определенных интегралов и приближенного решения дифференциальных уравнений. Задача №3.Вычислить приближенно с точностью 0,0001. Решение. Для любого имеет место формула: . При получим . Оценим погрешность вычислений с помощью остаточного члена в форме Лагранжа: . Так как , то , где лежит между и . При имеем , где . Учитывая, что , получим . При . При . Таким образом, для достижения требуемой точности достаточно взять (или более): . Каждое слагаемое вычислим с одним дополнительным знаком после запятой, чтобы к нашей ошибке не добавлялись ошибки от округления: . Ответ: с точностью 0,0001 .
Задача №4.Вычислить приближенно с точностью 0,0001. Решение. Для вычисления будем использовать биномиальный ряд, который сходится только при , поэтому сначала преобразуем данный корень: . В биномиальном ряде положим :
. Данный знакочередующийся числовой ряд является рядом Лейбница. Чтобы определить, сколько взять первых членов ряда для вычисления с точностью 0,0001, вычислим последовательно несколько первых членов ряда: . Согласно свойству ряда Лейбница, если оставить первые три слагаемые, то ошибка искомого приближенного значения корня будет меньше : , следовательно, . Ответ: с точностью 0,0001
Пусть необходимо посчитать определенный интеграл от некоторой функции , первообразная которой не вычисляется в элементарных функциях. Следовательно, формулу Ньютона-Лейбница применить не удается. Если разложима в степенной ряд на отрезке , принадлежащем области сходимости ряда, то интеграл может быть вычислен приближенно. Иногда приближенного вычисления бывает достаточно и при наличии первообразной функции. Для решения такой задачи используются ряды Тейлора. Рассмотрим примеры. Задача №5.Вычислить определенный интеграл с точностью 0,01. Решение. Заметим, что этот широко используемый интеграл не выражается в элементарных функциях. В ряде Маклорена для функции сделаем замену : .
Теперь воспользуемся теоремой о том, что степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку, принадлежащему интервалу сходимости. Данный ряд сходится на всей числовой прямой, следовательно, его можно интегрировать по любому отрезку, в том числе по отрезку : Мы получили числовой ряд, который равен значению определенного интеграла. Оценим погрешность вычислений. Данный ряд – это ряд Лейбница, следовательно, погрешность вычислений не превосходит по модулю первого отброшенного члена ряда. Поэтому, вычисляя по порядку члены ряда, первым отбросим тот, который окажется по модулю меньше заданной точности:
, . Тогда 024=0,743. Ответ: 0,743. Задача №6.Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001. Решение. Вычислить этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница нельзя, поскольку первообразная функции не выражается в элементарных функциях. Используем для решения задачи степенной ряд. Запишем разложение в ряд Маклорена функции : . Сделаем в этой формуле замену : Данный ряд можно почленно проинтегрировать по отрезку : Таким образом, вычисляемый определенный интеграл равен сумме знакочередующегося числового ряда, который удовлетворяет условиям признака Лейбница, следовательно, погрешность вычислений не превосходит модуля первого из отброшенных членов ряда. , . Поэтому для достижения заданной точности необходимо оставить первые 3 слагаемые. . Ответ: . Задача №7.. Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001. Решение. Распишем ряд Маклорена для функции . . Тогда
. Поделим левую и правую часть формулы на : . . Получившийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому отбрасываем первым слагаемое, которое меньше объявленной точности: , . . Ответ: . Рассмотрим еще одно приложение степенных рядов, к приближенному решению дифференциальных уравнений. Решение дифференциального уравнения не всегда можно выразить в элементарных функциях. Интегралы многих дифференциальных уравнений могут быть представлены в виде степенного ряда, сходящегося в некотором интервале значений независимой переменной. В таком случае ряд, являющийся решением дифференциального уравнения можно найти с помощью рядов Тейлора. Пусть необходимо найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями, т.е. решить задачу Коши. Проиллюстрируем решение на примере.
Задача №8.Найти первые пять членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям . Решение. Будем искать частное решение дифференциального уравнения в виде ряда . Мы выбрали разложение в ряд Маклорена, поскольку в условии задачи нам даны значения искомой функции и ее первой производной в точке . Для того, чтобы найти приближенное значение функции , нам необходимо знать значения ее второй, третьей и четвертой производных в точке . Значения самой функции и первой производной в нуле даны по условию. Значение второй производной при найдем из дифференциального уравнения, подставив начальные условия: . Для нахождения третьей производной продифференцируем данное дифференциальное уравнение: . При этом необходимо учесть, что -- это функция, а -- независимая переменная: . Теперь можно вычислить значение третьей производной в точке : . Аналогично вычислим значение четвертой производной: , или . Подставив в найденное равенство значения получим: . Осталось подставить вычисленные в заданной точке значения производных в ряд Маклорена: . Ответ: . Задача №9.Найти первые четыре члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям . Решение. Начальные условия заданы в точке , поэтому решение будем искать в виде ряда Тейлора: . Значения самой функции и ее первой производной даны в условии задачи. Вторую производную в точке найдем из дифференциального уравнения: . Вычислим третью производную, продифференцировав дифференциальное уравнение:
или . Тогда значение третьей производной равно
. Осталось записать искомый ряд: Ответ:
Ряды Фурье. Мы рассмотрели ряды Тейлора, в которых функция разлагалась в ряд по системе многочленов , . Существуют другие способы разложения функции в ряд. Например, можно разложить функцию в ряд по системе тригонометрических функций. Такое представление широко применяется для описания различных периодических процессов или функций, заданных на отрезке, которые можно доопределить на всю числовую прямую как периодические.
Рассмотрим функцию , периодическую с периодом . Определение. Ряд вида , где называется рядом Фурье для заданной функции . Для того, чтобы функцию можно было разложить в ряд Фурье она должна быть кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной (т.н. условия Дирихле), то есть требуются гораздо более простые условия, чем для разложения в ряд Тейлора. Если функция имеет период , то получаем в качестве частного случая следующее разложение в ряд Фурье: , .
Рассмотрим примеры.
Задача №1.Разложить в ряд Фурье функцию . Решение. Данную функцию продолжим на всю числовую прямую как периодическую с периодом , тогда ряд Фурье для нее будет иметь вид: . Необходимо найти коэффициенты разложения . Функция задана на интервале разными формулами, поэтому при вычислении разобьем интеграл на два: . . Напомним, что при . При вычислениях использовали, что . . Ответ: . Задача №2. Разложить в ряд Фурье функцию . Решение. Период функции равен , следовательно, используем ряд вида . Вычислим коэффициенты ряда: . Функция, как и в предыдущем примере, задана разными формулами, поэтому отрезок интегрирования разбиваем на части. Интеграл вычисляется по частям: , тогда
Осталось подставить найденные коэффициенты. Ответ: . Вычисление коэффициентов ряда Фурье значительно упрощается, если известно, что данная функция является четной или нечетной на отрезке . В случае четности функции, в разложении остаются лишь четные слагаемые, содержащие , а все коэффициенты при равны нулю. Если -- четная, то ряд Фурье имеет вид: , где . Если -- нечетная, то наоборот, ряд состоит из нечетных функций , а все коэффициенты и равны нулю: , где
. Рассмотрим теперь задачу о разложении в ряд Фурье непериодической функции, заданной на отрезке . В этом случае можно продлить функцию на всю числовую прямую как четную или как нечетную и воспользоваться формулами разложения в ряд четной или нечетной функции. Тогда периодом функции назначается отрезок . И разложение называется соответственно разложением в ряд Фурье по синусам или косинусам. Задача №3.Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию на отрезке . Решение. Подчеркнем, что при такой подстановке задачи функция считается заданной на полупериоде, т.е. . Ряд по косинусам имеет вид: . Вычислим коэффициенты: ;
Осталось записать ответ. Ответ: . Аналогично решается задача о разложении функции в ряд Фурье по синусам, при этом -- это по-прежнему длина отрезка, на котором задана функция: , где . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|