Ряд Тейлора. Использование степенных рядов в приближенных вычислениях.

Рассмотрим задачу разложения некоторой функции в степенной ряд.

Пусть задана функция , имеющая на некотором интервале производные всех порядков, тогда она разлагается на этом интервале в ряд вида

который называется рядом Тейлора. Здесь -- заданное число.

Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая в окрестности точки имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться к породившей ее функции только при тех значениях , при которых остаток ряда стремиться к нулю:

Остаток ряда Тейлора записывается в форме Лагранжа следующим образом:

где заключено между и .

Если , то получаем частный случай ряда Тейлора, который иногда называют рядом Маклорена:

Рассмотрим ряды Тейлора для некоторых элементарных функций.

данный ряд называется биномиальным, поскольку при натуральном из него получается формула степени бинома.

Подчеркнем, что степенные ряды для функций сходятся к соответствующим функциям при , а степенные ряды для функций и сходятся лишь при . (Для при ).

Задача №1.Написать разложение в степенной ряд функции .

Решение. В качестве исходной формулы возьмем разложение в ряд Маклорена

функции :

Заменим на :

Ответ:

Задача №2.Написать разложение в степенной ряд функции .

Решение. Запишем биномиальный ряд

и сделаем в нем замену :

По условию , подставим это значение в предыдущую формулу:

Ответ: .

Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. Рассмотрим применение рядов Тейлора для приближенного вычисления значений функций, значений определенных интегралов и приближенного решения дифференциальных уравнений.

Задача №3.Вычислить приближенно с точностью 0,0001.

Решение. Для любого имеет место формула:

При получим

Оценим погрешность вычислений с помощью остаточного члена в форме Лагранжа:

Так как

, то

где лежит между и .

При имеем

где .

Учитывая, что , получим

При

Таким образом, для достижения требуемой точности достаточно взять (или более):

Каждое слагаемое вычислим с одним дополнительным знаком после запятой, чтобы к нашей ошибке не добавлялись ошибки от округления:

Ответ: с точностью 0,0001 .

Задача №4.Вычислить приближенно с точностью 0,0001.

Решение. Для вычисления будем использовать биномиальный ряд, который сходится только при , поэтому сначала преобразуем данный корень:

В биномиальном ряде положим :

Данный знакочередующийся числовой ряд является рядом Лейбница. Чтобы определить, сколько взять первых членов ряда для вычисления с точностью 0,0001, вычислим последовательно несколько первых членов ряда:

Согласно свойству ряда Лейбница, если оставить первые три слагаемые, то ошибка искомого приближенного значения корня будет меньше :

следовательно,

Ответ: с точностью 0,0001

Пусть необходимо посчитать определенный интеграл

от некоторой функции , первообразная которой не вычисляется в элементарных функциях. Следовательно, формулу Ньютона-Лейбница применить не удается. Если разложима в степенной ряд на отрезке , принадлежащем области сходимости ряда, то интеграл может быть вычислен приближенно. Иногда приближенного вычисления бывает достаточно и при наличии первообразной функции. Для решения такой задачи используются ряды Тейлора. Рассмотрим примеры.

Задача №5.Вычислить определенный интеграл с точностью 0,01.

Решение. Заметим, что этот широко используемый интеграл не выражается в элементарных функциях.

В ряде Маклорена для функции сделаем замену :

Теперь воспользуемся теоремой о том, что степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку, принадлежащему интервалу сходимости. Данный ряд сходится на всей числовой прямой, следовательно, его можно интегрировать по любому отрезку, в том числе по отрезку :

Мы получили числовой ряд, который равен значению определенного интеграла.

Оценим погрешность вычислений. Данный ряд – это ряд Лейбница, следовательно, погрешность вычислений не превосходит по модулю первого отброшенного члена ряда. Поэтому, вычисляя по порядку члены ряда, первым отбросим тот, который окажется по модулю меньше заданной точности:

Тогда 024=0,743.

Ответ: 0,743.

Задача №6.Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001.

Решение. Вычислить этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница нельзя, поскольку первообразная функции не выражается в элементарных функциях. Используем для решения задачи степенной ряд. Запишем разложение в ряд Маклорена функции :

Сделаем в этой формуле замену :

Данный ряд можно почленно проинтегрировать по отрезку :

Таким образом, вычисляемый определенный интеграл равен сумме знакочередующегося числового ряда, который удовлетворяет условиям признака Лейбница, следовательно, погрешность вычислений не превосходит модуля первого из отброшенных членов ряда.

, .

Поэтому для достижения заданной точности необходимо оставить первые 3 слагаемые.

Ответ: .

Задача №7.. Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001.

Решение. Распишем ряд Маклорена для функции .

Тогда

Поделим левую и правую часть формулы на :

.
Полученный степенной ряд можно почленно проинтегрировать по отрезку .

Получившийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому отбрасываем первым слагаемое, которое меньше объявленной точности:

, .

Ответ: .

Рассмотрим еще одно приложение степенных рядов, к приближенному решению дифференциальных уравнений. Решение дифференциального уравнения не всегда можно выразить в элементарных функциях. Интегралы многих дифференциальных уравнений могут быть представлены в виде степенного ряда, сходящегося в некотором интервале значений независимой переменной. В таком случае ряд, являющийся решением дифференциального уравнения можно найти с помощью рядов Тейлора.

Пусть необходимо найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями, т.е. решить задачу Коши.

Проиллюстрируем решение на примере.

Задача №8.Найти первые пять членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям

Решение. Будем искать частное решение дифференциального уравнения в виде ряда

Мы выбрали разложение в ряд Маклорена, поскольку в условии задачи нам даны значения искомой функции и ее первой производной в точке . Для того, чтобы найти приближенное значение функции , нам необходимо знать значения ее второй, третьей и четвертой производных в точке . Значения самой функции и первой производной в нуле даны по условию.

Значение второй производной при найдем из дифференциального уравнения, подставив начальные условия:

Для нахождения третьей производной продифференцируем данное дифференциальное уравнение:

При этом необходимо учесть, что -- это функция, а -- независимая переменная:

Теперь можно вычислить значение третьей производной в точке :

Аналогично вычислим значение четвертой производной:

, или

Подставив в найденное равенство значения

получим:

Осталось подставить вычисленные в заданной точке значения производных в ряд Маклорена:

Ответ: .

Задача №9.Найти первые четыре члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям

Решение. Начальные условия заданы в точке , поэтому решение будем искать в виде ряда Тейлора:

Значения самой функции и ее первой производной даны в условии задачи. Вторую производную в точке найдем из дифференциального уравнения:

Вычислим третью производную, продифференцировав дифференциальное уравнение:

или

Тогда значение третьей производной равно

Осталось записать искомый ряд:

Ответ:

Ряды Фурье.

Мы рассмотрели ряды Тейлора, в которых функция разлагалась в ряд по системе многочленов

, .

Существуют другие способы разложения функции в ряд. Например, можно разложить функцию в ряд по системе тригонометрических функций. Такое представление широко применяется для описания различных периодических процессов или функций, заданных на отрезке, которые можно доопределить на всю числовую прямую как периодические.

Рассмотрим функцию , периодическую с периодом .

Определение. Ряд вида

, где

называется рядом Фурье для заданной функции .

Для того, чтобы функцию можно было разложить в ряд Фурье она должна быть кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной (т.н. условия Дирихле), то есть требуются гораздо более простые условия, чем для разложения в ряд Тейлора.

Если функция имеет период , то получаем в качестве частного случая следующее разложение в ряд Фурье:

, .

Рассмотрим примеры.

Задача №1.Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Данную функцию продолжим на всю числовую прямую как периодическую с периодом , тогда ряд Фурье для нее будет иметь вид:

Необходимо найти коэффициенты разложения . Функция задана на интервале разными формулами, поэтому при вычислении разобьем интеграл на два:

Напомним, что при .

При вычислениях использовали, что .
Таким образом, ряд Фурье для заданной функции имеет вид:

Ответ: .

Задача №2. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Период функции равен , следовательно, используем ряд вида

Вычислим коэффициенты ряда:

Функция, как и в предыдущем примере, задана разными формулами, поэтому отрезок интегрирования разбиваем на части.

Интеграл вычисляется по частям: , тогда

Осталось подставить найденные коэффициенты.

Ответ: .

Вычисление коэффициентов ряда Фурье значительно упрощается, если известно, что данная функция является четной или нечетной на отрезке . В случае четности функции, в разложении остаются лишь четные слагаемые, содержащие , а все коэффициенты при равны нулю.

Если -- четная, то ряд Фурье имеет вид:

, где

Если -- нечетная, то наоборот, ряд состоит из нечетных функций , а все коэффициенты и равны нулю:

, где

Рассмотрим теперь задачу о разложении в ряд Фурье непериодической функции, заданной на отрезке . В этом случае можно продлить функцию на всю числовую прямую как четную или как нечетную и воспользоваться формулами разложения в ряд четной или нечетной функции. Тогда периодом функции назначается отрезок . И разложение называется соответственно разложением в ряд Фурье по синусам или косинусам.