Зачет№1 по Линейной алгебре.
1) Даны матрицы ’ а) Построить матрицу С = 2А -3В+Ат +Е. б) Найти произведение матрицы А на матрицу В. в) Вычислить определители матрицы А и матрицы В. Убедитесь, что det(AB)=detA∙detB. 2) Найти А-1 и сделать проверку: a) ; б) ; в) 3) Каждую из следующих систем решить методом Крамера, Гаусса, матричным методом: А) х + 2у + 3z = 14; б) 2x - 3y + z = 8; 2x + y – z = 1; 5x – y – z = 10; 3x + 2y + 2z = 13; x + 3y + 4z = 3. 4) Решите систему методом Гаусса: 2х1 + х2 – х3 + х4 = 1 3х1 – 2х2 + 2х3 – 3х4 = 2 5х1 + х2 – х3 + 2х4 = -1 2х1 – х2 + х3 – 3х4 = 4 5) Проверить линейную зависимость указанных векторов: a) ; б) . 6) Доказать, что векторы образуют базис в R3 и разложить по этому базису вектор a) б) 6)Доказать, что векторы образуют базис в R3 и разложить по этому базису вектор , 7)Вычислить скалярное произведение 7) Найти косинус угла между векторами и 8) Даны векторы Найти норму вектора , если 9) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и 10) Даны вершины пирамиды А(-4; -1; 2), В(-1; 0; 3), С(2; 2; 5), Д(3; -2; -1). Найти площадь всех граней пирамиды. 11) Вычислить смешанное произведение векторов . 12) Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах 13) Установить, компланарны ли векторы если . Зачет №2 по Линейной алгебре. 1) Проверить линейную зависимость указанных векторов:
2) Векторы образуют базис в R3 , разложить по этому базису вектор 3) Вычислить скалярное произведение 4) Найти косинус угла между векторами и 5) Даны векторы Найти норму вектора , если 6) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и 7) Даны вершины пирамиды А(-4; -1; 2), В(-1; 0; 3), С(2; 2; 5), Д(3; -2; -1). Найти площадь грани АВС пирамиды. 8) Вычислить смешанное произведение векторов . 9) Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах 10) Установить, компланарны ли векторы если . 11) Даны матрицы ’ Построить матрицу С = 2А -3В+Ат +Е. 12) Найти произведение матрицы А на матрицу В и вычислить det(AB). 13) Найти А-1 и сделать проверку: 14) Решите систему: х + 2у + 3z = 14; 2x + y – z = 1; 3x + 2y + 2z = 13; 15) Решите систему методом Гаусса: 2х1 + х2 – х3 + х4 = 1 3х1 – 2х2 + 2х3 – 3х4 = 2 5х1 + х2 – х3 + 2х4 = -1 2х1 – х2 + х3 – 3х4 = 4 Зачет№3 Задание 1 Вариант 1. Является ли линейным пространством множество всех непрерывных функций Y=ƒ (x), ƒ(x)>0 ? Вариант 2. Образует ли линейное пространство множество всех непрерывных функций, заданных на [0;1] ? Вариант 3.Образует ли линейное пространство множество всех многочленов третьей степени от переменной X, если заданные их суммы P3+Q3 и произведение на число P3 ? Вариант 4.Образует ли линейное пространство множество всех положительных чисел, Если сумма чисел и произведение на число заданы обычным образом ? Вариант 5 Образует ли множество всех векторов, лежащих на одной оси, линейное пространство, если сумма двух векторов и равно + , произведение числа не равно ? Задание 2 Исследовать на линейную зависимость систему векторов
Задание 3 Определить Размерность линейного пространства решений заданной системы 1. 3x1+x2-8x3+2x4+x5=0 2. x1+x2-10x3+x4-x5=0 3. 2x1-x2+2x3-x4+x5=0 2x1-2x2-3x3-7x4+2x5=0 5x1-x2+8x3-2x4+2x5=0 x1+10x2-3x3-2x4+2x5=0 x1+11x2-12x3+34x4-5x5=0 3x1-3x2-12x3-4x4+4x5=0 4x1+19x2-4x3-5x4-x5=0 4. x1+2x2+x3+4x4+x5=0 5. 5x1-2x2+3x3-4x4-x5=0 2x1-x2+3x3+x4-5x5=0 5x1-2x2+3x3-4x4-x5=0 x1+3x2-x3-6x4-x5=0 5x1-2x2+3x3-4x4-x5=0 . Задание 4 Дан вектор в базисе b , найти его координаты в базисе е Вариант1 Вариант2 Вариант3 Вариант4 Вариант5 =(6, -1, 3) =(1, 3, 6) =(-1, 7, 14) =(-3, 2, 4) =(2, 4, 3) e1=b1+b2+2b3 e1=b1+b2+4b3 e1=b1+b2+8b3 e1=-b1+b2-b3 e1=-b1-b2 e2=2b1-b2 e2=4/3b1-b2 e2=8/7b1-b2 e2=b1-b2-b3 e2=b1+b2+0,5b3 e3=-b1+b2+b3 e3=-b1+b2+b3 e3=-b1+b2+b3 e3=-b1+2b2+b3 e3=-b1+b2+b3 Задание 5 Линейный оператор А в базисе e= e1, e2, e3 имеет матрице Ае. Найдите матрицу этого оператора в базисе b= b1, b2, b3 , если базисы e и b связаны заданными соотношениями. Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 АE = АE = АE = АE = Вариант 5 АE = b1=e1-e2+e3 b1=2e1+3e2+e3 b1=e1+e2+e3 b1=e1+e2-6e3 b1=2e1+3e1+e3 b2=-e1+e2-2e3 b2=3e1+4e2+e3 b2=4e2+e3 b2=6/7e1-e2 b2=3e1+4e2+e3 b3=-e1+2e2+e3 b3=e1+2e2+2e3 b3=e1+2e3 b3=-e1+e2+e3 b3=e1+2e2+2e3 Задание 6 Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора А, имеющего в некотором базисе е= е1, е2, е3 матрицу Ае Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 АE = АE = АE = АE = Вариант 5 АE = Задание 7 Убедитесь, что в R3 векторы а1, а2, а3 образуют базис. С их помощью постройте ортонормированный базис е1, е2, е3
Задание 8 ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|