Главная | Обратная связь

Табличный метод решения некоторых логических задач

К числу задач относятся; определение истинностных значений сложных суждений, состоящих из более чем двух простых состав­ляющих; решение вопроса об отношениях между высказываниями (совместимость или несовместимость их, эквивалентность или не­эквивалентность); является ли некоторое сложное высказывание законом логики и решение наиболее важного для логики вопроса о наличии или отсутствии логического следования между некоторыми высказываниями.

Для решения всех этих задач нам требуется рассматривать не конкретные (по содержанию) высказывания, а логические их формы. Имея дело с логическими формами сложных высказыва­ний, которые называются логическими формулами, употребляют переменные для высказываний (пропозициональные переменные —p, q, r, s) которые могут представлять либо простые высказывания, либо сложные, но структура которых нас в тех или иных случаях не интересует, то есть рассматриваемые как элементарные.

Для определения истинностного значения сложного высказы­вания, содержащего несколько переменных, например, p (q r) надо во входной части таблицы перебрать все возможные распреде­ления истинностных значений для данных переменных, то есть все строки таблицы. В случае наличия многих переменных полезно иметь способ перебора всех указанных распределений, поскольку иначе какие-то строки могут быть упущены, а другие повторяться. Этот способ может быть таким.

Прежде всего, во входной части таблицы надо выписать (в лю­бом порядке) все попарно различные переменные и определить число возможных распределений значений для данного перечня переменных, го есть число всех возможных строк в таблице. Есте­ственно, оно зависит от количества переменных и определяется числом 2ⁿ, где n — число попарно-различных переменных. Каждой переменной будет соответствовать. Теперь столбец входных значений ее по отдельным строкам. Придвух переменных мы имеем 4 стро­ки, при трех их будет 8 при четырех 16 и т.д.

Далее выписываем возможные значения для каждой перемен­ной в соответствующем ей столбце таблицы, начиная с последней; для нее Принимаем последовательность значений ИЛИЛИЛИЛИ и т.д. далее допоследней строки, то есть чередование И и Л идет через одну строку, начиная с И. Для предпоследней переменной чередование идет через 2 строки, опять-таки начиная с И: ИИЛЛИИЛЛИИ и т.д. также до последней строки. Для предше­ствующей переменной чередование уже через 4 строки, далее через 8, 16 и т.д. (если, конечно, имеется соответствующее число переменных) и, наконец, в первом столбце входной части таблицы половина числа 2" идет И, а вторая половина состоит из знаков Л. Например, для трех переменных входная часть таблицы будет иметь вид:

р	q	г
и	и	и
и	и	л
и	л	и
и	л	л
л	и	и
л	и	л
л	л	и
л	л

В следующей — выходной части таблицы определяется зна­чение исследуемых формул при соответствующих распределениях истинностных значений по пропозициональным переменным, то есть в каждой строке таблицы. При определении истинностного значения сложной формулы она разбивается на подформулы (составляющие), содержащие какие-то логические связки (то есть не элементарные формулы), и значение ее вычисляется последовательно, начиная с подформул наиболее глубоких вхождений (не считая элементарных), в нашем случае p и (q r), до главных ее подформул (в нашем случае — они же) и, наконец, самой формулы (в нашем случае p (q r)) на основе значений главных ее подформул.

Вся таблица для нашего примера будет иметь вид:

р	q	г	р	(q r)	p (q r)
и	и	и	л	и	и
и	и	л	л	и	и
и	л	и	л	и	и
и	л	л	л	л	и
л	и	и	и	и	и
л	и	л	и	и	и
л	л	и	и	и	и
л	л	л	и	л	л

Если для некоторой формулы в каждой строке ее таблицы она принимает значение И (истина), то это указывает на то, что она является законом логики — тождественно истинной формулой (видим, что наша формула не является таковой). При этом если данная формула имеет вид А В.

Решить вопрос о наличии отношения логического следования А |=В можно, исходя из значений А и В: оно имеет место, если нет ни одной строки, в которой истинно А и ложно В.

Решение вопроса, следует ли некоторое высказывание В из со­вокупности высказываний A₁, ... ,А,_m, может быть получено в ­засимости от того, является ли законом логики высказывание (А₁ , А₂ ... А_m ) В или, проще, также лишь на основе истинностных значений высказываний Ai, ... Am и В. Интересующее нас отноше­ние (А| л... л А|„ )|= В имеет место, если и только если не ни одной строки в таблице, в которой истинны все высказывания А₁, ... , А_m и ложно В.

Рассмотрим, является ли законом логики формула (p q) ( q p) и в связи с этим также, имеется ли отношение ло­гического следования (p q) |= ( q p) и (p q), q |= p. Строим таблицу для определения возможных истинностных значений дан­ной формулы:

 

р	q	q	р	(р q)	( q p)	(p q) ( q p)
и	и	л	л	и	и	и
и	л	и	л	л	л	и
л	и	л	и	и	и	и
л	л	и	и	и	и	и

 

Ясно, что наша формула есть закон логики. Значит, имеется следование (p q) |=( q p). Однако, этот вопрос можно решить, учитывая лишь значение формул (p q) и ( q p): в таблице пет ни одной строки, » которой формула (p q) была бы истинной, а ( q р) ложной.

Вопрос о совместимости или несовместимости некоторых выс­казываний А₁, ... , А,_m решается в зависимости от того, имеется или не имеется такая строка соответствующей таблицы, в которой все указанные высказывания имеют значение истины. Это равносильно тому, что конъюнкция данных высказываний при каких-то значе­ниях переменных является истинной, иначе говоря, не является ложной при любых значениях переменных: в таких случаях говорят, что она не является тождественно-ложной (некоторая формула называется тождественно-ложной, если она принимает значение ложь при любых значениях имеющихся в ее составе переменных).

Если какие-го два высказывания А и В имеют во всех строках соответствующей таблицы одинаковые значения, то они являются эквивалентными: символически записывается в виде |= (А~В), это равносильно ((А В) (В А)).

 

5.6. Понятие необходимого и достаточного условия

Обстоятельство А (признак, событие, явление и т.п.) является достаточным условием обстоятельства В, если и только если А и В связаны между собой таким образом, что в каждом случае, когда имеется А, имеется и В, то есть для каждого случая истинно высказывание «Если А, то В».

Обстоятельство А является необходимым условием обстоятельства В, если и только если А и В связаны между собой таким образом, что в каждом случае при отсутствии А, отсутствует В, то есть в каждом случае истинно высказывание: «Если неверно А, то неверно В»; это высказывание эквивалентно высказыванию «Если В, то А».

Из сказанного видно, что если А — необходимое условие В, то В — достаточное условие А, и наоборот. Ясно, что делимость суммы цифр числа на 3 есть достаточное условие делимости на 3 самого числа. Естественно в этом случае, как и во всех подобных, ставить вопрос, является ли оно необходимым? Известно из ариф­метики, что это действительно так.

Полезно иметь в виду, что вообще для любых двух обстоя­тельств справедлива классификация:

1. одно из них является достаточным и необходимым условием для другого или

2. достаточным, но не необходимым, или

3. недостаточным, но необходимым, или, наконец,

4. недостаточным и не необходимым.

Выше уже приведен пример признака достаточного и необхо­димого; еще пример: делимость числа на 2 и на 3 является необхо­димым и достаточным условием для его делимости на 6. Однако, незаконное хранение оружия достаточно для привлечения к уго­ловной ответственности, но, конечно, не является необходимым для этого. Гласность же, являясь необходимым условием демокра­тии, не является в то же время достаточным, как и, например, повышение производительности труда для повышения уровня благо­состояния общества. Между тем, рост человека, его возраст и, ко­нечно, пол не являются ни достаточными, ни необходимыми усло­виями для усвоения логики.

Знание понятий необходимых и достаточных условий может избавить человека от хаотического и излишнего перечисления при­знаков предметов, способствовать минимизации тех данных, кото­рые характеризуют тот или иной предмет или предметы некоторого вида. Именно требование указанной минимизации подразумевается обычно в обращении к тому или иному человеку: «Выделяйте су­щественное», «Не нужно второстепенного, не идущего к делу» и т.п. Требования такого рода часто означают: укажите достаточные и необходимые признаки предметов данного класса.

 

Отрицание суждений

Попросту говоря, операция отрицания некоторого суждения А состоит в том, чтобы сказать: «Неверно, что А ( А)». Однако обычно нас такой результат не удовлетворяет и задача состоит не просто во внешнем отрицании, а в том, чтобы найти некоторые положительные эквиваленты этого отрицания, в которых отрицание каким-то образом «пронесено» до некоторых частей исходного отрицаемого суждения.

Есть определение правила пронесения отрицания (правила образования контрадикторной противоположности) для высказы­ваний различных видов. Для применения этих правил требуется представление высказываний в определенных стандартных формах.

 

1. (А В) A В 3. (Аv В) A B

2. (А В) Av B 4. А А

 

Если А или В, в свою очередь, сложные высказывания, то к ним применяются эти же правила. Таким образом, многократным применением правил всегда можно получить такое высказывание, в котором отрицания стоят лишь над простыми высказываниями.

Для отрицании любого простого суждения, то есть для образования его контрадикторной противоположности, следует заменить везде квантор общности при каждом субъекте, где он встречается, на квантор существования и, наоборот, квантор существования при каждом субъекте, где он встречается, заменить на квантор общности и изменить качество суждения (утвердительное на отрицатель­ное и наоборот).

Примеры. «Неверно, что некоторые люди не есть лица, заинте­ресованные в высоких заработках» эквивалентно: «Все люди есть лица, заинтересованные в высоких заработках». «Неверно, что все люди любят кого-нибудь» эквивалентно: «Некоторые люди не лю­бят никого».

Ясно, что любое суждение контрадикторно противоположное по отношению к данному, будет истинным, если исходное суждение является ложным и, наоборот, если исходное суждение является истинным, то результатом его отрицания будет ложное суждение.