 |
|
Методические указания по темАМ
Кафедра высшей математики
и программного обеспечения ЭВМ
Методические рекомендации к выполнению контрольных
Работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета
По дисциплине «Математика»
Часть 2.
Элементы теории функций. Комплексные числа.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Мурманск
2006 г.
УДК 517 (076.5)
ББК 22.161Я73
М 54
Составители : В. С. Кацуба, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ,
Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ.
Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой
13.12.2006 г., протокол №3.
Рецензент: Драница Ю. П., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ
Редактор
Корректор
ÓМурманский государственный технический университет, 2006
Оглавление
Стр.
Введение…………………………………………………………………………...4
Методические указания по темам «Элементы теории функций. Комплексные числа» и «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»........5
Справочный материал по теме «Элементы теории функций. Комплексные числа»……………………………………………………………..……………… 7
1. Функции и их свойства………………………………………………..…. 7
2. Предел функции. Предел последовательности.……………………...... 9
3. Бесконечно малые, бесконечно большие и локально ограниченные функции.…………………………………………………………………. 11
4. Вычисление пределов……………..……………………………..…..... 14
5. Раскрытие неопределенностей ………………………………………... 15
6. Непрерывность функции, точки разрыва……………………………... 18
7. Комплексные числа……………………………………………………... 20
8. Действия над комплексными числами………………………………… 22
Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №3…........23
Справочный материал по теме «Дифференциальное исчисление функций
одной переменной»………………………………………………………………34
1. Дифференцирование функций ……………………………………….…34
2. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой .………………..37
3. Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя .………………37
4. Исследование функций и построение графиков ……………..………..38
Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №4…........42
Варианты контрольных работ……………………………………………….….52
Варианты контрольной работы №3…………………………………………….53
Варианты контрольной работы №4…………………………………………….58
Рекомендуемая литература ………………………………………………......... 61
Введение
В настоящем пособии содержатся методические рекомендации к изучению теоретического материала и выполнению контрольных работ по темам «Элементы теории функций. Комплексные числа» и «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», а также варианты контрольных работ №3 и №4 по этим темам для студентов ВЗФ.
В результате изучения этих тем студенты 1-го курса должны:
• владеть понятиями функции, сложной и обратной функций, знать свойства основных элементарных функций, уметь определять их основные характеристики по графикам функций;
• знать определения предела функции и предела последовательности;
• уметь вычислять пределы, раскрывать неопределенности и анализировать полученный результат с точки зрения определения предела;
• уметь исследовать функции на непрерывность, определять точки разрыва функции и устанавливать тип разрыва;
• знать, что такое мнимая единица и комплексное число, уметь производить операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах;
• уметь решать простейшие алгебраические уравнения на множестве комплексных чисел;
• владеть основными понятиями дифференциального исчисления (производная и ее геометрический смысл, дифференциал), уметь находить производные функций, заданных явно, неявно или параметрически;
• иметь навыки решения основных задач с использованием производных: геометрические задачи на касательную и нормаль, вычисление пределов с использованием правила Лопиталя и пр.;
• знать приемы исследования функций с помощью производной.
Данные методические рекомендации включают также список рекомендуемой литературы, справочный материал, необходимый для выполнения контрольных работ №3 и №4 для студентов 1-го курса и решение примерных вариантов этих работ, в которых имеются ссылки на используемый справочный материал.
Методические указания по темАМ
«Элементы теории функций. Комплексные числа» и
«Дифференциальное исчисление функции одной переменной»
В таблице 1 приведены наименования тем в соответствии с содержанием контрольных работ и ссылки на литературу по этим темам. Перед выполнением каждой из контрольных работ рекомендуется изучить соответствующий теоретический материал и решить указанные в таблице задачи.
Таблица 1.
| № к.раб. | № задачи | Содержание (темы) | Литература |
| Основные элементарные функции, их графики и основные характеристики. Сложные функции. Обратные функции | [1], гл. V, § 14; [2], гл. 4, § 1, 11, 12.1; [3], гл. VI, № 610–637; [4], гл. 4, № 15–38, 43–60, 62–71, 73–108, 151, 153 | ||
| Предел числовой последовательности и функции непрерывного аргумента. Вычисление пределов, раскрытие основных видов неопределенностей. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции | [1], гл. V, § 15–18; [2], гл. 4, § 2–6; [3], гл. VI, № 638–690, 692, 693, 700, 707, 714–719; [4], гл. 2, № 21–24, 26–28, 63–68, гл. 4, № 228–246, 285, 289, 346–351, 355, 358–359 | ||
| Определение непрерывности функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация. Исследование функции на непрерывность | [1], гл. V, § 19; [2], гл. 4, § 7–9; [3], гл. VI, № 723–735; | ||
| Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. Решение простейших алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел | [1], гл. VI, § 27–28; [2], гл. 14, § 6.1; [4], гл. 9, № 1–52 | ||
| Определение производной. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производные сложных функций. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков | [1], гл.V, § 20, 21, 23.1; [2], гл. 5, § 1, 4, 5, 7–9, 10.1, 11; [3], гл. VII, № 771–811, 900–907, 909– 912, 950, 951, 964, 965, 969; [4], гл. 5, № 14–44, 162–167, 206–211 | ||
| Уравнения касательной и нормали к плоской кривой | [1], гл. V, § 20.2; [2], гл. 5, § 1.2; [3], гл. VII, № 917–921, 923–930; [4], гл. 5, № 139–144 | ||
| Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя | [1], гл. V, § 25.2; [2], гл. 6, § 1, 2; [3], гл. VII, № 1024–1028, 1030–1040; [4], гл. 5, № 225–240, 258–264 | ||
| Монотонность и экстремумы функций. Выпуклость графика функции, точки перегиба. Вертикальные и наклонные асимптоты. Полное исследование функции и построение ее графика | [1], гл. V, § 25.3–25.8; [2], гл. 6, § 4; [3], гл. VII, № 1055–1058, 1061–1064, 1083–1084, 1091–1094, 1102–1109; [4], гл. 5, № 282, 293, 296, 297–300, 315– 324, 334, 339, 342, 344–347 |
Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.