Действия над комплексными числами

Равенство двух комплексных чисел z₁= x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂ означает равенство их действительных и мнимых частей: .

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме определяются следующим образом. Если z₁= x₁ + iy₁,

z₂ = x₂ + iy₂, то

1) z₁+ z₂ = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂);

2) z₁– z₂ = (x₁ – x₂) + i(y₁ – y₂);

3) z₁ z₂ = (x₁x₂– y₁y₂) + i(x₁y₂+ х₂y₁);

4) .

Пример. Даны числа z₁= 4 – i и z₂ = 1 + 3i. Вычислить .

Найдем , затем выполняем деление при помощи домножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:

(при вычислениях учтено, что ).

Умножение, деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме определяются следующим образом:

если , , то

1) ;

2) ;

если , , то

3) ; (15)

4) .

В ответ записываются главные значения аргумента полученного результата, заключенные в промежутке .

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №3

Задача 1. Даны функции

Требуется:

1) используя графики основных элементарных функций, построить графики функций f(x) и g(x). Описать при помощи построенных графиков основные характеристики этих функций: ООФ, ОЗФ, четность, периодичность, промежутки монотонности и экстремумы;

2) составить сложные функции и ;

3) для функции найти обратную функцию , построить графики обеих взаимно обратных функций в одной системе координат и записать их ООФ и ОЗФ.

Задача 2. Вычислить пределы, применяя правила раскрытия неопределенностей, основные теоремы о конечных пределах, теоремы обесконечно малых и бесконечно больших функциях. Ответы пояснить с точки зрения определения предела.

а) ; б) ; в) ;

г) .

Задача 3. Исследовать непрерывность функций в соответствии с заданиями.

а) Проверить, является ли функция непрерывной в точках х₁ = 0 и

х₂= 3. В случае разрыва функции указать тип разрыва и сделать схематический чертеж в окрестности точки разрыва.

б) Построить график функции используя график, записать промежутки непрерывности функции, перечислить точки разрыва и указать тип каждого из них.

Задача 4. Даны уравнение , комплексное число и натуральное число n = 6. Требуется:

1) найти корни уравнения z_1,z₂на множестве комплексных чисел;

2) найти комплексное число в алгебраической форме;

3) получить тригонометрическую форму числа и вычислить с ее помощью . Ответ записать в тригонометрической и в алгебраической формах.

Решение задачи 1.

1) Строим графики заданных функций, используя известные графики

основных элементарных функций и простейшие преобразования графиков.

Для построения графика в качестве исходного используем график функции , для которой ООФ: х > 0, у(1) = 0, у(3) = 1, (рис. 13).

График функции получаем из исходного графика в соответствии с преобразованием графиков

(перенос графика на а единиц в направлении оси Ох). В данном случае график перемещаем на 0,5 единиц вправо (рис. 14).

Для функции ООФ: х > 0,5, у(1,5) = 0, у(3,5) = 1.

График получаем из графика в соответствии с преобразованием графиков (перенос графика на А единиц в направлении оси Oу). В данном случае график перемещаем на 2 единицы вверх (рис. 15).

Для построения графика в качестве исходного используем график функции (рис. 16).

График функции получаем из исходного графика в соответствии с преобразованием графиков (сжатие графика в а раз в направлении оси Ох). В данном случае график сжимаем в 2 раза (рис. 17).

График функции получаем из графика функции в соответствии с преобразованием графиков (растяжение графика в А раз в направлении оси Оу). В данном случае график растягиваем в 3 раза (рис. 18).

Опишем при помощи построенных графиков основные характеристики функций и в виде таблицы.

Таблица 2.

№	Характеристика
	ООФ (область определения функции)
	ОЗФ (область значений функции)
	Нули функции
	Четность	Общего вида	Нечетная
	Периодичность	Непериодическая	Периодическая с
	Промежутки монотонности	при	при при
	Точки экстремумов, экстремумы функции	Экстремумов нет	– точки min, – точки max,

2) Составим сложную функцию для , , подставив в f(x) вместо аргумента х функцию g(x): .

Аналогично составляем сложную функцию : , т.е. .

3) Находим обратную функцию для функции . Так как функция является монотонно возрастающей на всей своей ООФ (рис. 15), то для нее существует обратная функция . Чтобы записать ее аналитическое выражение, решим уравнение относительно х, т.е. получим выражение :

Переобозначив аргумент обратной функции через х, а функцию через у, получим: – функцию .

Для функции ООФ: , ОЗФ: (табл. 2); для функции ООФ: , ОЗФ:

(для взаимно обратных функций промежутки ООФ и ОЗФ меняются ролями).

Построим графики обеих взаимно обратных функций и , контролируя их симметрию относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 19).

Ответы:

1) рисунки 15, 18, таблица 2;

2) и ;

3) ; для ООФ: , ОЗФ:

; для ООФ: , ОЗФ: ;

графики на рисунке 19.

Решение задачи 2а.

Для раскрытия неопределенности при использовано правило 1: в числителе и знаменателе вынесены за скобки старшие степени n. При вычислении предела учтено, что при , что , использованы теоремы о конечных пределах и теорема обесконечно больших функциях:

, если .

С точки зрения определения бесконечного предела последовательности полученный результат означает, что для достаточно больших значений номера n члены последовательности u_n становятся сколь угодно большими по модулю.

Решение задачи 2б.

Здесь для раскрытия неопределенности использовано правило 2: в числителе и знаменателе выделен критический множитель (х –2). Для его выделения в знаменателе использовано разложение многочлена на множители, а в числителе – домножение числителя и знаменателя на выражение , сопряженное числителю . При вычислении предела использованы теоремы о конечных пределах.

С точки зрения определения предела функции при полученный результат означает, что для значений аргумента х, достаточно близких к точке х = 2, значения функции будут становиться сколь угодно близкими к числу .

Решение задачи 2в.

Для раскрытия неопределенности использовано правило 2: в числителе и знаменателе выделен критический множитель(х – 0) = х. Для его выделения использован принцип замены эквивалентных бесконечно малых.

С точки зрения определения конечного предела функции при полученный результат означает, что для значений аргумента х, достаточно близких к точке х = 0, значения функции будут становиться сколь угодно сколь угодно близкими к числу 0.

Решение задачи 2г.

При вычислении предела использовано дважды правило раскрытия неопределенности , образованной делением целых многочленов одинаковой степени (см. формулу (8)):

а также непрерывность функции e^z: .

С точки зрения определения конечного предела функции при полученный результат означает, что для достаточно больших (по модулю) значений аргумента х значения функции будут сколь угодно близкими к числу e^-¹⁰.

Ответы: а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение задачи 3а.

Чтобы проверить непрерывность заданной функции в каждой из заданных точек х₁ = 0 и х₂= 3, используем определение непрерывности функции в точке.

Найдем ООФ: . Проверим выполнение условия (9) поочередно в точках х₁ и х₂.

Точка х₁ = 0:

1) х₁ = 0ÎООФ , причем окрестность точки х₁также входит в ООФ;

2) существует конечный предел ;

3) справедливо ;

следовательно, в точке х₁ = 0 заданная функция непрерывна.

Точка х₂ = 3:

1) х₂ = 3 ООФ , следовательно, в точке х₂ = 3 заданная функция не является непрерывной. Поскольку функция определена в окрестности точки х₂, то эта точка является точкой разрыва функции.

Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы функции при :

;

(при вычислении использовано предельное поведение показательной функции при ). Так как один из односторонних пределов оказался бесконечным, делаем вывод, что разрыв в точке х₂ = 3 бесконечный (разрыв 2-го рода).

Построим схематический чертеж графика функции в окрестности точки разрыва с учетом значений односторонних пределов (рис. 20).

Решение задачи 3б.

Запишем ООФ кусочно-заданной функции

Построим график функции , объединяя «куски» графиков основных элементарных функций (рис. 21 – 24).

Анализируя график (рис. 24), видим, что он представляет собой непрерывную линию для всех х, кроме х = 0. Записываем промежутки непрерывности функции: и .

В точке х = 0 функция имеет разрыв типа «скачок», т.к. не существует , но при существуют конечные односторонние пределы функции, не совпадающие между собой:

, .

Ответы:

а) х₁ = 0 – точка непрерывности функции , х₂ = 3 – точка бесконечного разрыва функции, схематический чертеж графика функции в окрестности точки разрыва на рисунке 20;

б) график функции – на рисунке 24, промежутки непрерывности функции: и , х = 0 – точка разрыва типа «скачок».

Решение задачи 4.

1) Найдем корни уравнения на множестве комплексных чисел:

(здесь использовано: ).

2) Чтобы найти комплексное число , вычислим сначала :

( – это число, сопряженное числу , т.е. ).

Затем находим числитель и знаменатель .

Теперь вычисляем w, используя домножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю:

– получили число w в алгебраической форме.

3) Комплексное число задано в алгебраической форме , где x = 1, y = . Получим тригонометрическую форму этого числа

, используя формулы (13) и (14). Вычислим модуль комплексного числа и его аргумент:

Таким образом, – тригонометрическая форма числа z₀.

Для вычисления используем формулу (15) возведения комплексного числа в натуральную степень:

Здесь аргумент . Выбираем главное значение аргумента, принадлежащее промежутку , используя формулу (11): при n = – 1 получаем . Тригонометрическая форма комплексного числа для имеет вид:

Подставив значения cos0 = 1, sin0 = 0, получим алгебраическую форму этого числа:

Ответы: 1) 2) ; 3) ;

= 64.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая ⇒