Непрерывность функции, точки разрыва

Функция называется непрерывной в точке х₀, если:

1) ООФ вместе с некоторой своей окрестностью;

2) существует конечный предел ;

3) этот предел совпадает со значением функции в точке х₀, т.е

. (9)

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Если функция не является непрерывной в точке х₀, но она определена в окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки х₀), то х₀ называется точкой разрыва функции.

Для определения вида разрыва в точке х₀находят односторонние пределы и . При этом

если существуют односторонние пределы , но , то говорят, что функция терпит в точке х₀ разрыв типа выколотой точки;

если существуют односторонние пределы и

, но , то не существует; в этом случае говорят,

что функция терпит в точке х₀ разрыв типа«скачок»;

если левосторонний либо правосторонний (или оба) пределы функции

при х₀ бесконечные, то говорят, что функция терпит в точке х₀бесконечный разрыв.

Разрывы типа выколотой точки и типа «скачок» относятся к конечным разрывам, или разрывам I рода, бесконечные разрывы относятся к разрывам II рода.

Примеры.

1) Функция непрерывна в силу непрерывности функций y = – х и y = 2х. В точке х = 0 функция также непрерывна, т.к.

Следовательно, функция непрерывна для всех (рис. 9).

2) Функция непрерывна в силу непрерывности функций y = 2 + х и y = 3. В точке х = 0 функция терпит разрыв типа«скачок» (рис. 10), т.к. , следовательно, не существует.

3) Функция y = tgx непрерывна во всех точках своей ООФ, т.е. для

. В точках функция терпит разрывы II рода (рис. 11), т.к. .

Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение вида

z = x + iy, (10)

где х, у – действительные числа, а i – мнимая единица, т.е. число, для которого выполнено равенство .

Если х = 0, то комплексное число z = 0 + iy называется чисто мнимым.

Если у = 0, то комплексное число z = x + i0 = х является действительным, в частности, если х = у = 0, то z = 0.

На множестве комплексных чисел алгебраическое уравнение n-й степени вида , где a_k – числа, ,имеет ровно n корней.

Пример. Решим уравнение: х² + 9 = 0.

Следовательно, уравнение имеет 2 корня: .

На координатной плоскости Оху комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой М(х; у) или радиус-вектором этой точки (рис. 12), где х = Rez – действительная часть числа z, у = Imz – мнимая часть числа.

Число называется сопряженным комплексному числу . Геометрически точки z и симметричны относительно оси Ох (рис. 12).

Модулем комплексного числа называется действительное неотрицательное число . Геометрически модуль комплексного числа – это модуль вектора (рис. 12).

Комплексное число можно задать либо парой действительных чисел (декартовы координаты точки (х; у)), либо его модулем и величиной угла φ между вектором и положительным направлением оси Ох (полярные координаты точки (r; φ)). Величина угла φ называется аргументом комплексного числа.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого . Значение аргумента, заключенное в промежутке , называется главным значением аргумента и обозначается argz, тогда можно записать: