 |
|
Исследование функций и построение графиков
Полное исследование функции 
для построения ее графика включает следующие пункты (не обязательно именно в этом порядке).
1) Область определения функции (ООФ) и область ее значений (ОЗФ).
Если область определения функции не задана специально, то считают, что она совпадает с областью допустимых значений ее аргумента, т.е. с множеством всех точек х, для которых выполнима операция f. При нахождении ООФ используют ООФ элементарных функций 
, 
, 
, и др.
Область значений функции находят только в случаях, когда ее можно сразу указать, опираясь на свойства элементарных функций, например, для функции 
, очевидно, 
.
2) Четность функции, ее периодичность.
Для установления четности (нечетности) функции , имеющей симметричную область определения, проверяют справедливость равенств 
( 
) для всех 
ООФ.
В случае четности или нечетности функции исследование ее поведения и построение графика можно проводить только для 
, а затем достроить график, используя симметрию: для четной функции график симметричен относительно оси OY, а для нечетной – относительно начала координат.
Для установления периодичности функции проверяют справедливость равенства 
для 
ООФ, где Т определяется видом функции. В случае периодической функции исследование проводят для одного промежутка периодичности.
3) Непрерывность функции, точки разрыва, вертикальные асимптоты.
Для определения промежутков непрерывности функции используют непрерывность основных элементарных функций. В точках, «подозрительных» на разрыв (отдельных точек, не входящих в ООФ), проверяют выполнение условий непрерывности. Если функция терпит разрыв в точке х0, то определют тип разрыва.
Если функция имеет бесконечный разрыв в некоторой точке х0, то прямая х = х0 является вертикальной асимптотой графика функции. Если только один из односторонних пределов при 
х0– 0 или х0+ 0 является бесконечным, то асимптота называется односторонней.
Если функция определена не на всей числовой оси, то необходимо вычислить односторонние пределы функции в точках, ограничивающих промежутки ООФ. Если односторонний предел функции в точке а, ограничивающей промежуток ООФ, бесконечен, то х = а является односторонней вертикальной асимптотой графика функции. Например, если ООФ: 
, то нужно найти 
; если этот предел окажется бесконечным, то х = а является односторонней вертикальной асимптотой графика функции.
4) Промежутки монотонности и экстремумы.
Для определения промежутков монотонности функции используют достаточный признак монотонности.
Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:
если на интервале хÎ(а, b) производная 
сохраняет знак, то функция сохраняет монотонность на этом интервале, а именно: если 
, то f(x) возрастает, если 
, то f(x) убывает.
Для установления точек экстремумов функции используют необходимый и достаточные признаки существования экстремума.
Необходимое условие существования экстремума функции: если непрерывная функция имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.
Точки, принадлежащие ООФ, в которых производная 
равна нулю или не существует, называют критическими точками функции по ее первой производной (точками, «подозрительными на экстремум»).
Первый достаточный признак существования экстремума: если при переходе через критическую точку х0 (слева направо) производная изменяет свой знак, то в точке х0 есть экстремум причем это максимум, если знак меняется с плюса на минус, и это минимум, если знак меняется с минуса на плюс. Если при переходе через критическую точку х0 производная не изменяет свой знак, то в точке х0 нет экстремума функции 
.
Второй достаточный признак существования экстремума: если 
– дважды дифференцируемая функция в точке х0 и 
, тогда: если 
, то х0 – точка минимума функции, а если 
, то х0 – точка максимума.
Для нахождения точек экстремумов функции сначала находят критические точки по первой производной. После этого проверяют выполнение в них достаточных условий существования экстремума функции.
5) Промежутки выпуклости, вогнутости графика и точки перегиба.
Дуга кривой L называется выпуклой, если все ее точки расположены не выше касательной, проведенной в любой точке этой дуги (рис. 27), и называется вогнутой, если все ее точки расположены не ниже касательной, проведенной в любой точке дуги кривой.
Точки, принадлежащие кривой, и отделяющие участки выпуклости от участков вогнутости, называются точками перегиба кривой (рис. 27).
Достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функции:если функция является дважды дифференцируемой и ее вторая производная 
сохраняет знак при всех xÎ(a;b), то график функции имеет постоянное направление выпуклости на этом интервале: при <0 – выпуклость вверх, при >0 – вогнутость (выпуклость вниз).
Необходимое условие для точки перегиба: если х0 – абсцисса точки перегиба графика функции , то ее вторая производная в этой точке равна нулю или не существует.
Точки, принадлежащие графику функции , в которых 
или 
не существует, называются критическими точками функции по ее второй производной (точками, «подозрительными на перегиб»).
Достаточное условие для точек перегиба: если вторая производная при переходе через точку х0, подозрительную на перегиб, изменяет знак, то точка графика с абсциссой х0 является точкой перегиба. Если не изменяет знак при переходе через точку х0, то перегиба нет.
При нахождении промежутков выпуклости, вогнутости графика функции сначала находят критические точки по второй производной, после этого выделяют промежутки знакопостоянства второй производной на ООФ: если 
, то кривая вогнутая, а если 
, то кривая выпуклая. Точки перегиба определяют, используя достаточные условия перегиба.
6) Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, расстояние до которой от текущей точки М кривой стремится к нулю при удалении точки М от начала координат (рис. 28).
Если график функции имеет наклонную асимптоту с уравнением 
, то параметры k и b в уравнении асимптоты можно найти по формулам:
, (26)
. (27)
Если хотя бы один из этих пределов является бесконечным или не существует, то наклонных асимптот нет. В случае, когда k = 0, график имеет горизонтальную асимптоту с уравнением y = b.
В некоторых случаях (как правило, если f(x) выражена через показательную или логарифмическую функцию), график может иметь асимптоты только при 
или только при 
.
Иногда ветви графика при и при 
имеют разные асимптоты.
7) Точки пересечения графика с осями координат или другие дополнительные точки графика.
Дополнительные точки графика находят в случаях, когда недостаточно информации для выбора масштаба по осям координат, т.е. когда на некотором промежутке ООФ нет ни точек экстремумов, ни точек перегибов, ни точек пересечения графика с осями координат.
Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №4
Задача 1. Найти производную 
:
а) 
; б) 
; в) 
Задача 2. Дана функция 
и значение х0 = 0. Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой х0. Построить графики функции, касательной и нормали в окрестности точки (х0, f(х0)).
Задача 3. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:
а) 
; б) 
.
Задача 4. Провести полное исследование функции и построить ее график:
а) 
; б) 
.
Решение задачи 1а.
Функция у(х) задана в явном виде и является отношением двух функций: 
Будем искать ее производную по формуле (20):
Найдем производные ее числителя и знаменателя:
(здесь использованы формулы (18), (19), (21) и «правило цепочки»);
(здесь использованы формулы (17), (18) и «правило цепочки»).
Теперь получаем: 
.
Преобразование результата не производим, поскольку оно не дает существенного упрощения выражения для .
Решение задачи 1б.
Равенство есть уравнение вида 
, которое неявно задает функцию 
. Для нахождения продифференцируем обе части тождества 
по аргументу х и из полученного равенства
найдем как решение линейного уравнения:
.
Производная неявно заданной функции зависит от аргумента х и функции у, поэтому в ответе нужно отразить их взаимосвязь:
, где 
.
Решение задачи 1в.
Функция у(х) задана параметрически: 
Для нахождения
используем формулу (22):
(при дифференцировании использованы формулы (17), (18) и «правило цепочки»).
Производная параметрически заданной функции также является функцией, заданной параметрически, поэтому записываем результат в параметрической форме: 
Ответы:
а) 
;
б) 
, где ;
в) 
Решение задачи 2.
Найдем ординату точки касания: 
.
Для вычисления угловых коэффициентов касательной и нормали найдем производную :
.
Вычислим угловой коэффициент касательной: 
Тогда угловой коэффициент нормали: 
.
Запишем уравнение касательной в точке М(0; 2) по формуле (23) и приведем его к виду общего уравнения прямой:
.
Запишем уравнение нормали по формуле (24) и аналогично упростим его:
Для построения графика функции в окрестности точки (х0; у0) вычислим значения функции 
в точках, близких к х0 = 0:
,
.
На рис. 29 построены участок графика функции , касательная 
и нормаль 
в окрестности точки М(0; 2).
Ответы: и . Графики на рис. 29.
Решение задачи 3а.
В данном пределе функция 
при 
есть отношение двух бесконечно больших функций, т.е. при вычислении предела нужно устранить неопределенность вида 
. Используем правило Лопиталя (формула (25): 
Последний предел есть предел бесконечно большой функции, т.е.
Следовательно, исходный предел 
.
Решение задачи 3б.
В данном пределе функция 
при 
есть отношение двух бесконечно малых функций, т.е. при вычислении предела нужно устранить неопределенность вида 
. Используем правило Лопиталя:
Последний предел при есть отношение двух бесконечно малых функций, т.е. нужно снова устранять неопределенность вида . Еще раз используем правило Лопиталя:
Следовательно, 
.
Ответы: а) 
; б) 
.
Решение задачи 4а.
Проведем полное исследование функции 
.
1) ООФ: 
т.е. 
.
2) Функция не может быть четной или нечетной, т.к. имеет несимметричную относительно начала координат ООФ. Следовательно, эта функция общего вида, симметрию графика предсказать нельзя. Функция непериодическая.
3) Функция непрерывна на всей ООФ, т.к. является элементарной функцией. Точка 
является точкой разрыва, т.к. функция не определена в этой точке, но определена в ее окрестности.
Для определения типа разрыва найдем односторонние пределы при 
: 
(здесь при 
числитель является ограниченной функцией, а знаменатель – бесконечно малой). Следовательно, в точке 
функция терпит бесконечный разрыв и 
– уравнение вертикальной асимптоты.
4) Промежутки монотонности и экстремумы найдем при помощи 1-й производной:
.
Критические точки по 1-й производной: 
х = 0, х = 2; не существует 
.
Точка не является критической точкой, т.к. 
ООФ. Следовательно, имеем две критические точки: х = 0 и х = 2.
Проверим выполнение достаточных условий монотонности и экстремума по знаку 1-й производной. На рис. 30 видно, что функция возрастает на интервалах 
и 
, убывает на интервалах 
и 
.
В точке х = 0 есть минимум функции, 
, в точке х = 2 есть максимум, 
.
5) Выпуклость, вогнутость графика и точки перегиба исследуем при помощи 2-й производной:
Критические точки по 2-й производной: 
х = 0, 
; 
не
существует 
. Точка не является критической точкой, т.к. 
ООФ. Следовательно, критическими точками по второй производной являются точки х = 0 и .
Проверим выполнение достаточных условий выпуклости, вогнутости графика функции по знаку 2-й производной. На рис. 31 видно, что график функции выпуклый на интервалах 
, 
и вогнутый на интервале 
. В точке с абсциссой 
имеется перегиб графика, 
.
6) Найдем наклонные асимптоты графика y = kx + b при 
по формулам (26), (27):
;
.
Следовательно, наклонная асимптота графика имеет уравнение 
.
7) Точка пересечения с осями координат – единственная: (0; 0), т.к.
.
8) 
Построение графика начинаем с построения асимптот и , затем отмечаем точки графика, в которых функция имеет экстремумы: точку минимума (0; 0), точку максимума 
, и точку перегиба 
. После этого выполняем построение графика функции сначала на промежутках 
и 
, затем на промежутке 
.
На графике (рис. 32) видны сближение кривой с асимптотами при удалении от начала координат и перегиб кривой.
Ответ: график на рис. 32.
Решение задачи 4б.
Проведем полное исследование функции 
.
1) ООФ: 
, ОЗФ: 
, т.к. 
.
2) Функция не является четной или нечетной, т.к. 
. Следовательно, эта функция общего вида. Функция непериодическая.
3) Функция непрерывна на всей ООФ. Точек разрыва нет.
4) Промежутки монотонности и экстремумы найдем при помощи 1-й производной:
.
Критические точки по 1-й производной: 
х = 0, х = 2; не существует – таких точек нет.
Проверим выполнение достаточных условий монотонности и экстремума по знаку 1-й производной. На рис. 33 видно, что функция возрастает на интервале 
, убывает на интервалах 
и 
.
В точке х = 0 минимум функции, 
, в точке х = 2 максимум, 
.
5) Выпуклость, вогнутость графика и точки перегиба исследуем при помощи 2-й производной:
.
Критические точки по 2-й производной: 
, т.е. 
, 
.
Проверим выполнение достаточных условий выпуклости, вогнутости
графика функции по знаку 2-й производной. На рис. 34 видно, что график
функции выпуклый на интервале 
, и вогнутый на интервалах 
и 
.
В точках с абсциссами имеются перегибы графика; вычисляем ординаты точек перегиба: 
, 
.
6) Найдем наклонные асимптоты графика y = kx + b при 
и при 
(отдельно) по формулам (26), (27).
(здесь при обе функции под знаком предела являются бесконечно большими). Следовательно, при наклонных асимптот нет.
При получаем:
;
. Следовательно, при график имеет горизонтальную асимптоту, ее уравнение: у = 0.
7) Точка пересечения с осями координат – единственная: (0; 0), т.к.
.
8) Построение графика начинаем с построения асимптоты у = 0 (она совпадает с осью абсцисс), затем отмечаем точки графика, в которых функция имеет экстремумы: точку минимума (0; 0), максимума 
, и точки перегиба (x1; y1) и (x2; y2), где 
, 
. После этого выполняем построение графика функции 
сначала на промежутках 
и 
, затем на промежутке 
.
На графике (рис. 35) видно сближение кривой с асимптотой у = 0 при и перегибы кривой.
Ответ: график на рис. 35.
Варианты контрольнЫХ работ
Каждый вариант контрольной работы №3 для студентов-заочников 1 курса всех специальностей МГТУ содержит 4 задачи, охватывающих материал по теме «Элементы теории функций. Комплексные числа». Каждый вариант контрольной работы №4 содержит 4 задачи по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной».
Перед выполнением каждой контрольной работы студенту необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии с методическими указаниями, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.
Задания для всех вариантов общие; студенту следует выбрать из условия каждой задачи данные, необходимые для ее решения, в соответствии со своим вариантом. Оформление контрольных работ должно соответствовать установленным правилам и требованиям. Необходимые чертежи должны выполняться четко, с соответствующими подписями и комментариями (см. образец выполнения примерного варианта работы).
Варианты контрольной работы №3
Задача 1. Даны функции 
.
| № варианта | 
| 
|
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
|
Требуется:
1) используя графики основных элементарных функций, построить графики функций f(x) и g(x). Описать при помощи построенных графиков основные характеристики этих функций: ООФ, ОЗФ, четность, периодичность, промежутки монотонности и экстремумы;
2) составить сложные функции 
и 
;
3) для функции 
найти обратную функцию 
, построить графики обеих взаимно обратных функций в одной системе координат и записать их ООФ и ОЗФ.
Задача 2. Вычислить пределы, применяя правила раскрытия неопределенностей, основные теоремы о конечных пределах, теоремы обесконечно малых и бесконечно больших функциях. Ответы пояснить с точки зрения определения предела.
| № варианта | Пределы |
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| |
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| |
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| |
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| |
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| |
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| |
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| |
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| |
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| |
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
|
Задача 3. Исследовать непрерывность функций в соответствии с заданиями.
а) Проверить, является ли функция 
непрерывной в точках х1 и х2. В случае разрыва функции указать тип разрыва и сделать схематический чертеж в окрестности точки разрыва.
б) Построить график функции , используя график, записать промежутки непрерывности функции, перечислить точки разрыва и указать тип каждого из них.
| № варианта | а) | б) |
 , х1 = 4, х2 = 5
| 
| |
 , х1 = 1,5, х2 = 2
| 
| |
 , х1 = 5, х2 = 7
| 
| |
 , х1 = 1, х2 = 4
| 
| |
 , х1 = 0, х2 = 0,5
| 
| |
 , х1 = –1, х2 = 2
| 
| |
 , х1 = 3, х2 = 5
| 
| |
 , х1 = 1, х2 = 3
| 
| |
 , х1 = 0, х2 = 1
| 
| |
 , х1 = –0,5, х2 = 1
| 
|
Задача 4. Даны уравнение, комплексное число 
и натуральное число n.
Требуется:
1) найти корни уравнения z1, z2 на множестве комплексных чисел;
2) найти комплексное число 
в алгебраической форме;
3) получить тригонометрическую форму числа и вычислить с ее помощью 
. Ответ записать в тригонометрической и в алгебраической формах.
| № варианта | Уравнение |
| n |
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Варианты контрольной работы №4
Задача 1. Найти производную :
| № варианта | Функции | ||
| а) | б) | в) | |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
|
Задача 2. Дана функция 
и значение х0.
| № варианта | Функция | Точка |
| x0 = 1 | |
| x0 = 4 | |
| x0 = 0 | |
| x0 = 2 | |
| x0 = 1 | |
| x0 = 0 | |
| x0 = 0 | |
| x0 = 1 | |
| x0 = 1 | |
| x0 = 0 |
Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой х0. Построить графики функции, касательной и нормали в окрестности точки (х0, f(х0)).
Задача 3. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:
| № варианта | Пределы | |
| а) | б) | |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
|
Задача 4. Провести полное исследование функции и построить ее график.
| № варианта | Функции | |
| а) | б) | |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
|
Рекомендуемая литература
1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М. : Айрис-пресс, 2003. – 288 с.
2. Шипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Шипачев.– М. : Высш. шк., 1998.– 479 с.
3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М. : Высш. шк., 1999.– 304 с.
4. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Шипачев.– М. : Высш. шк., 2001.– 304 с.