 |
|
Справочный материал по теме «Дифференциальное исчисление функциЙ одной переменной»
Дифференцирование функций
Производной функции 
в точке х называется конечный предел отношения приращения функции 
к приращению аргумента 
:
, (16)
где 
.
Другие обозначения производной: 
.
Если существует производная функции в точке х, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Дифференцирование функции – это процесс нахождения производной 
. При дифференцировании используют таблицу производных и правила дифференцирования.
Таблица 3.
Таблица производных основных элементарных функций.
| |||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Основные правила дифференцирования.
1) Производная от постоянной равна нулю:
. (17)
2) Производная алгебраической суммы (u 
v) двух дифференцируемых функций 
и 
существует и равна алгебраической сумме производных этих функций:
(18)
3) Производная произведения двух дифференцируемых функций и существует и вычисляется по формуле:
. (19)
4) Производная отношения двух дифференцируемых функций и существует и вычисляется по формуле:
. (20)
5) Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
(21)
6) Производная от сложной функции: если 
, где f(z) и z(x) –дифференцируемые функции, то 
(«правило цепочки»).
7) Производная от функции,заданной неявно: если функция 
задана уравнением 
, то для нахождения нужно продифференцировать обе части тождества 
по аргументу х и из полученного равенства найти как решение линейного уравнения.
8) Производная от функций , заданной параметрически: если 
где x(t), y(t) – дифференцируемые функции, то:
. (22)
Производные высших порядков:производная 2-го порядка: 
,
3-го порядка: 
и т.д. Для обозначений производных высшего порядка используются также символы вида: 
. Производные 4 и более высоких порядков обозначаются при помощи римских цифр: 
. Производная n-го порядка обозначается 
, она получается n-кратным дифференцированием функции 
: 
.