 |
|
Предел функции. Предел последовательности
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки х = а, где а – конечная или бесконечно удаленная точка на числовой прямой Ох.
Число А называется конечным пределом функции в точке х = а (или при 
), если для любого числа 
, сколь малым бы оно ни было, можно указать такую окрестность U(a) точки х = а (не включающую саму точку а), что при всех х, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство 
.
Предел функции обозначается так: 
, или 
при .
Определение конечного предела при можно записать символически следующим образом:
. (*)
Геометрически существование конечного предела 
в случае, когда 
, означает, что значения функции сколь угодно мало отличаются от числа А, если значения аргумента становятся достаточно близкими к точке х = а (рис. 1). При этом в самой точке а функцияможет быть не определена или определена, но может иметь значение, отличное от А.
Поведение функции только слева или только справа от точки 
, т.е. в ее левой или правой окрестности, характеризуется ее односторонними пределами (рис. 2): левосторонний предел функции обозначается 
, где условие 
означет, что х остается левее точки а ( 
); правосторонний предел функции обозначается 
, где условие 
означет, что х остается правее точки а ( 
).
Существование предела 
означает, что существуют оба односторонних предела и они совпадают между собой:
.
Если существует конечный предел функции при 
: 
, то в его определении (*) U(a) – это окрестность бесконечно удаленной точки числовой прямой (рис. 3). При этом можно рассматривать односторонние пределы: 
или 
(рис. 4).
Числовую последовательность 
обычно рассматривают как функцию натурального аргумента n: 
.
Если существует предел последовательности 
, то его определение можно записать символически:
,
т.е. члены последовательности сколь угодно мало отличаются от числа А при достаточно больших номерах n (для 
).