Систем линейных уравнений с помощью ранга матрицы
Рассмотрим алгоритм решения системы линейных уравнений и в необходимых местах приведем обоснования. Дана система линейных уравнений (1). 1. Исследуем ее на совместность. Для этого находим ранги матриц А и . Если они различны, то система несовместна (по теореме Кронекера – Капелли). Пусть (8). Тогда по той же теореме система (1) совместна. Если М – базисный минор матрицы А, то из равенств (8) следует, что он имеет порядок r и остается базисным минором матрицы . Не нарушая общности, можно считать, что минор М находится в левом верхнем углу (в противном случае можно перенумеровать неизвестные и переставить уравнения). Тогда первые r строк матрицы являются базисными строками, и потому по теореме о базисном миноре все остальные строки этой матрицы линейно выражаются через первые r строк. Отсюда нетрудно получить, что все уравнения системы (1) линейно выражаются через первые r уравнений этой системы. Рассмотрим следующую систему уравнений: a11x1+…+a1rxr+a1r+1xr+1+…+a1nxn=b1 …………………………………. (9) ar1x1+…+arrxr+arr+1xr+1+…+arnxn=br.
В системе (9) мы оставили только те уравнения из (1), коэффициенты из которых входят в минор М. Докажем, что системы (I) и (9) имеют одно и то же множество решений, т.е. эквивалентны (равносильны). Очевидно, что всякое решение системы (1) является и решением системы (9), так как (9) – это часть системы (1). Обратно: всякое решение системы (9) удовлетворяет и остальным уравнениям системы (1), так как «отброшенные» уравнения, как отмечено выше, есть линейные комбинации уравнений (9). Мы обосновали следующий факт: при решении системы (1) можно отбросить «лишние» уравнения и получить систему r линейно независимых уравнений, эквивалентную (1). 2. Рассмотрим систему (9). Перенесем в ней в правые части все неизвестные, коэффициенты при которых не входят в минор М (в нашем случае – неизвестные xr+1,…xn (10)). Эти неизвестные назовем свободными неизвестными. Придадим свободным неизвестным произвольные значения из поля Р: xr+1=cr+1, …, xn=cn (11), cjÎP, j=r+1,…,n. Для нахождения остальных неизвестных x1,…,xr (их назовем основными), получаем следующую систему уравнений:
a11x1+…+a1rxr=b1-a1r+1cr+1-…-a1ncn ………………………. (12) ar1x1+…+arrxr=br-arr+1cr+1-…-arncn.
(12) – система r уравнений с r неизвестными, причем ее определитель – базисный минор М – отличен от нуля (такие системы называют крамеровскими, так как к ним применима теорема Крамера). По теореме Крамера система (12) имеет единственное решение: x1=c1,…, xr=cr. (13) Теперь нетрудно видеть, что c1,…, cr, cr+1,…,cn (14) (мы объединили наборы чисел (11) и (13)) – это решение системы (9). В части 2 мы обосновали следующий факт: почему свободным неизвестным можно придавать произвольные значения? Потому, что если это сделать, то мы можем найти некоторое решение системы (1). В этой же части мы научились находить некоторые решения системы (1). 3. Докажем, что описанным выше способом можно получить любое решение системы (1). Пусть(c1,…,cr,cr+1,…,cn) (15) – произвольное решение системы (1). Если xr+1, …, xn - свободные неизвестные, то придадим им значения, взятые из решения (15): xr+1=cr+1, …, xn=cn. Тогда значения основных неизвестных найдутся по теореме Крамера при решении системы (12): x1=d1,…, xr=dr. (16) Так как (15) – решение системы (1), то система (12) имеет решение x1=c1,…,xr=cr (17). По теореме Крамера решение системы (12) единственно, и потому ее решения (16) и (17) должны совпадать. Мы доказали, что произвольное решение (15) системы (1) можно получить описанным выше способом. Общее решение Отметим, что общее решение системы линейных уравнений можно получить методом Гаусса: выразить основные неизвестные через свободные. Другой способ получения общего решения вытекает из рассмотренного выше метода решения системы с помощью ранга матрицы. Для этого при решении системы (9) свободные неизвестные переносим в правые части уравнений системы и считаем их произвольными постоянными, т.е. полагаем xr+1=С1,…, xn=Сn-r. (17) А далее по формулам Крамера выражаем основные неизвестные через свободные. Получим: x1=f1(С1,…,Cn-r),…, xr=fr(C1,…,Cn-r). Отметим, что f1,…,fr — некоторые линейные функции от С1,…, Сr. Тогда (f1,…,fr, C1,…, Cn-r) (18) будет, очевидно, решением системы (1). Это решение содержит произвольные постоянные и, как доказано выше в пункте 3, любое решение системы (1) можно получить при некотором выборе этих произвольных постоянных. Следовательно, (18) – общее решение системы (1).
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|