Главная | Обратная связь

Свойства изоморфизмов.

1. При изоморфизме нулевой вектор переходит в нулевой.

Доказательство. Пусть aÎL и j: L®L` – изоморфизм. Так как a=a+0, то j(a)=j(a+0)=j(a)+j(0). (1)

Т.к. j(L)=L` то из последнего равенства видно, что j(0) (обозначим его через 0`) – это нулевой вектор из L`.

2. При изоморфизме линейно зависимая система переходит в линейно зависимую систему.

Доказательство. Пусть a₁, a₂,…,a_s (2) – некоторая линейно зависимая система из L. Тогда существует ненулевой набор чисел a₁,…,a_s (3) из Р, что a₁a₁+…+a_sa_s=0. Подвергнем обе части этого равенства изоморфному отображению j. Учитывая определение изоморфизма, получим:

a₁j(a₁)+…+a_sj(a_s)=j(0)=0` (мы использовали свойство 1). Т.к. набор (3) ненулевой, то из последнего равенства следует, что j(a₁),…,j(a_s) – линейно зависимая система.

3. Если j: L®L` - изоморфизм, то j<sup>-1</sup>: L`®L – тоже изоморфизм.

Доказательство. Так как j – биекция, то существует биекция j^-1: L`®L. Требуется доказать, что если a`, b`Î L`, то

j^-1(a`+b`)=j^-1(a`)+j<sup>-1</sup>(b`). (4)

Так как j – биекция, то a`=j(a), b`=j(b), для некоторых a, bÎL.

Имеем: j^-1(a`+b`)=j^-1(j(a)+j(b)). (5)

Так как j — изоморфизм, то a`+b`=j(a)+j(b) =j(a+b). Отсюда следует:

a+b=j^-1(j(a+b))=j^-1(j(a)+j(b)). (6)

Из (5) и (6) имеем j^-1(a`+b`)=a+b=j^-1(a`)+j<sup>-1</sup>(b`).

Аналогично проверяется, что j^-1(aa`)=aj<sup>-1</sup>(a`).

Итак, j^-1 – изоморфизм.

Свойство доказано.

4. При изоморфизме линейно независимая система переходит в линейно независимую систему.

Доказательство. Пусть j: L®L`- изоморфизм и a₁, a₂,…,a_s (2) – линейно независимая система. Требуется доказать, что j(a₁), j(a₂),…,j(a_s) (7) также линейно независима.

Предположим, что (7) линейно зависима. Тогда при отображении j^-1 она переходит в систему a₁, …,a_s.

По свойству 3 j^-1 – изоморфизм, а тогда по свойству 2 система (2) будет также линейно зависимой, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно.

Свойство доказано.

5. При изоморфизме базис любой системы векторов переходит в базис системы ее образов.

Доказательство. Пусть a₁, a₂,…,a_s,… (8) – конечная или бесконечная система векторов линейного пространства L, j: L®L` – изоморфизм. Пусть система (8) имеет базис a_i1, …,a_ir (9). Покажем, что система j(a₁),…,j(a_к),… (10) имеет базис j(a_i1), …,j(a_ir) (11).

Так как (9) линейно независима, то по свойству 4 система (11) линейно независима. Припишем к (11) любой вектор из (10); получим: j(a_i1), …,j(a_ir), j(a_j) (12). Рассмотрим систему a_i1, …,a_ir, a_j (13). Она линейно зависима, так как (9) – базис системы (8). Но (13) при изоморфизме j переходит в (12). Так как (13) линейно зависима, то по свойству 2 система (12) тоже линейно зависима. Значит, (11) есть базис системы (10).

Применяя свойство 5 ко всему конечномерному линейному пространству L, получим

Утверждение 1. Пусть L – n-мерное линейное пространство над полем P, j: L®L` - изоморфизм. Тогда L` – также конечномерное пространство и dim L`= dim L = n.

 

 

В частности, справедливо

Утверждение 2. Если конечномерные линейные пространства изоморфны, то их размерности равны.

Замечание. В §7 будет установлена справедливость и обратного к этому утверждения.

Координаты вектора

Пусть L – конечномерное линейное пространство над полем Р и e₁,…,e_n (1) – некоторый базис L.

В дальнейшем базис всегда будем считать упорядоченным (т.е. если в нем поменять местами некоторые векторы, то получим уже другой базис).

Определение 11. Пусть аÎL. Выразим вектор а через базис (1), т.е. a=a₁e₁+…+a_ne_n (2), a_iÎP (i=1,…,n). Столбец (a₁,…,a_n)^т (3) называется координатным столбцом вектора а в базисе (1).

Координатный столбец вектора а в базисе е обозначается также через [a], [a]_e или [a₁,..,a_n].

Как и в аналитической геометрии, доказывается единственность выражения вектора через базис, т.е. единственность координатного столбца вектора в данном базисе.

Замечание 1. В некоторых учебниках вместо координатных столбцов рассматривают координатные строки (например, в книге [1]). В таком случае получаемые там формулы на языке координатных столбцов выглядят иначе.

Теорема 4. Пусть L – n-мерное линейное пространство над полем Р и (1) – некоторый базис L. Рассмотрим отображение j: a ® (a₁,…,a_n)^т, ставящее в соответствие любому вектору а из L его координатный столбец в базисе (1). Тогда j – изоморфизм пространств L и P⁽ⁿ⁾ (P⁽ⁿ⁾ – n-мерное арифметическое пространство векторов-столбцов).

Доказательство. Отображение j однозначно в силу единственности координат вектора. Легко проверяется, что j – биекция и j(ga)=gj(a), j(a)+j(b)=j(a+b). Значит j - изоморфизм.

Теорема доказана.

Следствие 1. Система векторов a₁,a₂,…,a_s конечномерного линейного пространства L тогда и только тогда линейно зависима, когда линейно зависима система, состоящая из координатных столбцов этих векторов в некотором базисе пространства L.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы 1 и второго и четвертого свойств изоморфизма.

Замечание 2. Следствие 1 позволяет изучение вопроса о линейной зависимости систем векторов в конечномерном линейном пространстве свести к решению такого же вопроса для столбцов некоторой матрицы.

Теорема 5 (критерий изоморфизма конечномерных линейных пространств). Два конечномерных линейных пространства L и L` над одним полем P тогда и только тогда изоморфны, когда имеют одну и ту же размерность.

Необходимость. Пусть L@L` В силу утверждения 2 из §6 размерность L совпадает с размерностью L₁.

Достаточность. Пусть dim L = dim L`= n. Тогда в силу теоремы 4 имеем: L@P<sup>(n)</sup> и L`@P⁽ⁿ⁾. Отсюда нетрудно получить, что L@L`.

Теорема доказана.

Примечание. В дальнейшем через L_n мы часто будет обозначать n-мерное линейное пространство.

Матрица перехода

Определение 12.Пусть в линейном пространстве L_n заданы два базиса:

е= (е₁, … е_n) и e`=(e<sub>1</sub>`,…,e`_n) (старый и новый).

Разложим векторы базиса е` по базису е:

e`₁=t₁₁e₁+…+t_n1e_n

………………….. (1)

e`_n=t_1ne₁+…+t_nne_n.

 

Матрицу

 

 

Т=

 

 

называют матрицей перехода от базиса е к базису е`.

Отметим, что равенства (1) в матричном виде удобно записать так: е`=еТ (2). Это равенство равносильно определению матрицы перехода.

Замечание 1. Сформулируем правило построения матрицы перехода: для построения матрицы перехода от базиса е к базису е` нужно для всех векторов e<sub>j</sub>` нового базиса e` найти их координатные столбцы в старом базисе е и записать их в качестве соответствующих столбцов матрицы Т.

Замечание 2. В книге [1] матрица перехода составляется по строкам (из координатных строк векторов нового базиса в старом).

Теорема 6. Матрица перехода от одного базиса n-мерного линейного пространства L_n над полем P к другому его базису является невырожденной матрицей n-го порядка с элементами из поля Р.

Доказательство. Пусть Т - матрица перехода от базиса е к базису e`. Столбцы матрицы Т по определению 12 - это координатные столбцы векторов базиса е` в базисе е. Так как е` - линейно независимая система, то по следствию 1 теоремы 4 столбцы матрицы Т линейно независимы, и потому |T|≠0.

Теорема доказана.

Верно и обратное утверждение.

Теорема 7. Любая невырожденная квадратная матрица n-го порядка с элементами из поля Р служит матрицей перехода от одного базиса n-мерного линейного пространства L_n над полем Р к некоторому другому базису L_n.

Доказательство. Пусть даны базис е=(е₁, …, е_n) линейного пространства L и невырожденная квадратная матрица

 

 

t11………t1n …………… tn1………tnn

Т=

 

 

n-го порядка с элементами из поля Р. В линейном пространстве L_n рассмотрим упорядоченную систему векторов e`=(e<sub>1</sub>`,…,e`_n), для которых столбцы матрицы Т являются координатными столбцами в базисе е.

Система векторов е` состоит из n векторов и является в силу следствия 1 теоремы 4 линейно независимой, так как у невырожденной матрицы Т столбцы линейно независимы. Поэтому эта система – базис линейного пространства L<sub>n</sub>, причем в силу выбора векторов системы e` выполняется равенство e`=eT. Это означает, что Т– матрица перехода от базиса е к базису e`.

Теорема доказана.

 

Связь координат вектора а в разных базисах

Пусть в линейном пространстве L_n заданы базисы е=(е₁, … е_n) и e`=(e<sub>1</sub>`,…,e`<sub>n</sub>) с матрицей перехода Т от базиса е к базису е`, т.е. верно (2). Вектор а имеет в базисах е и е` координаты [a]<sub>e</sub>=(a<sub>1</sub>,…, a<sub>n</sub>)<sup>T</sup> и [a]<sub>e`</sub>=(a₁`,…, a<sub>n</sub>`)^T, т.е. a=e[a]_e и a=e`[a]<sub>e`</sub>.

Тогда, с одной стороны, a=e[a]_e, а с другой - a=e`[a]<sub>e`</sub>=(eT)[a]_{e`</sub>=e(T[a]<sub>e`}) (мы использовали равенство (2)).

Из этих равенств получим: a=e[a]_e=e(T[a]_{e`</sub>). Отсюда в силу единственности разложения вектора по базису е вытекает равенство [a]<sub>e</sub>=Т[a]<sub>e`} (3), или

a₁ a₁^`

a₂ a₂`

… = T … (4)

a_n a_n` .

 

Соотношения (3) и (4) называютформулами преобразования координат при изменении базиса линейного пространства. Они выражают старые координаты вектора через новые. Эти формулы можно разрешить относительно новых координат вектора, умножив (4) слева на Т^-1 (такая матрица существует, так как Т - невырожденная матрица).

Тогда получим: [a]<sub>e`</sub>=T<sup>-1</sup>[a]<sub>e</sub>. По этой формуле, зная координаты вектора в старом базисе е линейного пространства L<sub>n</sub>, можно найти его координаты в новом базисе, e`.