Главная | Обратная связь

Подпространства линейного пространства

Определение 13. Пусть L – линейное пространство над полем Р и HÌL. Если H также является линейным пространством над Р относительно тех же операций, что и L, то H называют подпространством линейного пространства L.

Утверждение 1. Подмножество Н линейного пространства L над полем Р является подпространством L, если выполняются следующие условия:

1. h₁+h₂ÎH для любых h₁, h₂ÎH;

2. ahÎH для любого hÎH и "aÎP.

Доказательство. Если в Н выполняются условия 1 и 2, то в Н заданы сложение и умножение на элементы поля Р. Выполнимость большинства аксиом линейного пространства для Н следует из их справедливости для L. Проверим некоторые из них:

а) 0×h=0ÎH (в силу условия 2);

b) "hÎH имеем: (-h)=(-1)×hÎH (в силу условия 2).

Утверждение доказано.

Примеры:

1. Подпространствами любого линейного пространства L являются 0 и L.

2. R₁– подпространство пространства R₂ векторов-отрезков на плоскости.

3. Пространство функций действительной переменной имеет, в частности, следующие подпространства:

а) линейных функций вида ax+b;

б) непрерывных функций;

в) дифференцируемых функций.

Один универсальный способ выделения подпространств любого линейного пространства связан с понятием линейной оболочки.

Определение 14. Пусть a₁,…a_s (1) – произвольная конечная система векторов линейного пространства L. Назовем линейной оболочкой этой системы множество {a₁a₁+…+a_sa_s |a_iÎP} = <a₁,…,a_s>. Линейную оболочку системы (1) обозначают также L(a₁,…,a_s).

Теорема 8.Линейная оболочка Н любой конечной системы векторов (1) линейного пространства L является конечномерным подпространством линейного пространства L. Базис системы (1) является и базисом Н, и размерность Н равна рангу системы (1).

Доказательство. Пусть Н=<a₁,….,a_s>. Из определения линейной оболочки легко следует выполнимость условий 1 и 2 утверждения 1. В силу этого утверждения, Н – подпространство линейного пространства L. Пусть a_i1,….,a_ir (2) – базис системы (1). Тогда имеем: любой вектор hÎH линейно выражается через (1) – по определению линейной оболочки, а (1) линейно выражается через свой базис (2). Так как (2) – линейно независимая система, то она является базисом Н. Но число векторов в (2) равно рангу системы (1). Значит, dimH=r.

Теорема доказана.

Замечание 1. Если Н – конечномерное подпространство линейного пространства L и h₁,…,h_m – базис Н, то легко видеть, что H=<h₁,..,h_m>. Значит, линейные оболочки – это универсальный способ построения конечномерных подпространств линейных пространств.

Определение 15.Пусть А и В – два подпространства линейного пространства L над полем Р. Назовем их суммой А+В следующее множество: А+В={a+b| aÎA, bÎB}.

Пример. R₂ является суммой подпространств OX (векторы оси OX) и OY.

Легко доказать следующее

Утверждение 2. Сумма и пересечение двух подпространств линейного пространства L являются подпространствами L (достаточно проверить выполнимость условий 1 и 2 утверждения 1).

 

 

Справедлива

Теорема 9. Если А и В – два конечномерных подпространства линейного пространства L, то dim(A+B)=dimA+ dimB–dim AÇB.

Доказательство этой теоремы можно посмотреть, например, в [1].

Замечание 2. Пусть А и В – два конечномерных подпространства линейного пространства L. Для нахождения их суммы А+В удобно использовать задание А и В линейными оболочками. Пусть А=<a₁,…,a_m>, В=<b₁,…,b_s>. Тогда нетрудно показать, что А+В= <a₁,…,a_m, b₁,…,b_s>. Размерность А+В по доказанной выше теореме 7 равна рангу системы a₁,…,a_m, b₁,…,b_s. Поэтому, если найти базис этой системы, то найдем и dim (A+B).