Главная | Обратная связь

Размерность пространства решений однородной системы

Теорема 2. Пусть (II) – однородная система с n неизвестными ранга r над полем Р. Тогда, если r<n (19), то пространство М решений этой системы имеет размерность (n-r).

Доказательство. Пусть а=(a₁,…,a_r,a_r+1,…,a_n)ÎМ (20) – произвольное решение системы (II), x₁,…,x_r – основные неизвестные, x_r+1,…,x_n – свободные неизвестные. Рассмотрим следующее отображение j: (a₁,…,a_r,a_r+1,…,a_n)® (a_r+1,…,a_n), т.е. каждому решению системы (II) ставим в соответствие упорядоченный набор значений свободных неизвестных из этого решения. Очевидно j - отображение множества М в линейное пространство P^(n-r) (j: M®P^(n-r)). Докажем, что j – изоморфизм.

1. Покажем, что j – инъекция.

Пусть существуют такие a, bÎM, что j(a)= j(b). (21)

Тогда, если а=(a₁,…,a_r,a_r+1,…,a_n) и b=(b₁,…,b_r,b_r+1,…,b_n), то в силу (21) a_r+1=b_r+1,…,a_n=b_n. (22)

Мы знаем, что если задать некоторые значения свободных неизвестных, то значения остальных неизвестных системы (II) находятся единственным образом (по теореме Крамера). Поэтому из (22) следует, что a₁=b₁,…, a_r=b_r; следовательно, a=b. Значит j – инъекция.

2. То, что j – сюръекция очевидно, так как свободным неизвестным можно придавать любые значения из поля Р, т.е. j(М) – все векторы из P^(n-r) и потому j(М)=P^(n-r).

Итак j – биекция. Проверим теперь, что j - изоморфизм.

3. Покажем, что j(ga)=gj(a) "gÎР.

Действительно, j(ga)=(ga_r+1,…, ga_n)= g(a_r+1,…,a_n)= gj(a).

4. Покажем, что j(a+b)=j(a)+j(b).

Так как a+b=(a₁+b₁,…, a_r+1+b_r+1,…,a_n+b_n), то по определению отображения j имеем: j(a+b) = (a_r+1+b_r+1,…,a_n+b_n) = (a_r+1,…,a_n) + (b_r+1,…,b_n)= j(a)+j(b).

Из 1– 4 следует, что j – изоморфизм. Так как изоморфные конечномерные линейные пространства имеют одинаковые размерности, то dimМ=dim P^(n-r)=n-r.

Теорема доказана.

Замечание 2. Если для однородной системы (II) r=n, то она имеет единственное нулевое решение, т.е.М=0.

Определение 9.Базис пространства решений однородной системы называется фундаментальной системой решений этой системы.

Следствие 1. Всякая фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными ранга r при r<n состоит из (n-r) решений.

Действительно, по теореме 2 пространство решений М этой системы имеет размерность n-r, а всякий базис (n-r)-мерного линейного пространства состоит из (n-r) векторов.

Следствие 2.Любая линейно независимая система решений

a₁,…,a_n-r однородной системы (II) ранга r c n неизвестными, состоящая из (n-r) решений, при r<n является фундаментальной системой решений системы (II).

Справедливость этого утверждения вытекает из того, что в пространстве размерности (n-r) любая линейно независимая система из (n-r) векторов составляет базис.

Теорема 3. Пусть a₁,…,a_n-r (23) – фундаментальная система решений однородной системы (II), С₁,…,С_n-r – произвольные постоянные. Тогда С₁a₁+…+С_n-ra_n-r=f (24) – общее решение системы (II).

Доказательство. В силу свойства 3 решений однородной системы вектор f является решением системы (II). Решение f зависит от произвольных постоянных. Пусть (g₁,…,g_n)=c – любое решение системы (II). Так как по определению (23) – это базис пространства решений М однородной системы (II), то любое ее решение линейно выражается через (23). В частности, с=d₁a₁+…+d_n-ra_n-r (25) d_jÎP. Сравнивая (24) и (25), мы видим, что решение с получается из f при С₁=d₁,…,С_n-r=d_n-r. Следовательно, f – общее решение системы (II).

Теорема доказана.

ЗамечаниеИз теоремы 3 вытекает, что для нахождения общего решения однородной системы при r<n достаточно найти (n-r) ее частных (линейно независимых) решений.