 |
|
Распределение молекул по компонентам скорости
(распределение Максвелла)
Рассмотрим газ в сосуде, который помещен в пустое пространство в поле тяжести. Газ в сосуде находится в равновесии, его молекулы как-то распределены по скоростям. Это распределение требуется найти.
Направим координатную ось OZ по вертикали. Сила тяжести влияет только на z-компоненту скорости молекул. Согласно закону 0сохранения энергии:
Молекулы, у которых 
, не могут подняться до высоты z. Выделим на произвольной высоте z слой газа высотой dz. Газ в этом слое состоит из движущихся молекул. Это молекулы, проходящие через него снизу вверх и сверху вниз. Разница между этими молекулами в том, что молекулы, приходящие снизу на высоте zO должны иметь составляющую скорости 
, превышающую 
, а молекулы, приходящие сверху могут иметь любые скорости от 0 до 
. В условиях равновесия число молекул, проходящих рассматриваемый слой снизу вверх должен равняться числу молекул, проходящих сверху вниз.
– число молекул на высоте zO в единице объема с z-компонентами скорости в интервале от 
до 
.
В единицу времени рассматриваемый слой пересекут 
молекул. Общее число таких молекул:
.
Аналогично число молекул, пересекающих слой сверху вниз:
.
При равновесии: 
.
Используя барометрическую формулу 
получим:
Из закона сохранения при фиксированном z:
.
Используем это соотношение для преобразования левой части, заменив нижний предел при этом на нуль:
Отсюда следует: 
.
Имея в виду закон сохранения энергии, записанное равенство может выполняться, если:
,
где A = const.
Таким образом, функция распределения молекул по составляющим скоростям имеет вид:
.
Число молекул в единице объема, z-компоненты которых лежат в интервале от до 
:
или 
– что определяет вероятность того, что z-компонента скорости любой молекулы газа находится в интервале от до .
Осталось определить постоянную А. Для этого используется условие нормировки, которое заключается в том, что вероятность обнаружить проекцию скорости молекулы от 
до равна единице:
Отсюда: 
Для вычисления интеграла введем новую переменную: 
. Тогда 
. Известно, что 
. Следовательно: 
. Выражение для функции распределения имеет вид:
– закон Максвелла распределения молекул по компоненте скорости.
Распределение молекул по компонентам скоростей не является следствием проявления силы тяжести. Наоборот, барометрическая формула определяется распределением молекул по скоростям. То, что сила тяжести не играет роли в распределении по скоростям, подтверждает отсутствие величины «g» в формуле.