 |
|
Распределение молекул по скоростям (распределение Максвелла)
Очевидно, что распределение молекул по различным компонентам скоростей выглядит одинаково: 
Найдем вероятность того, что компоненты скоростей находятся в интервалах от 
до 
, от до 
, от 
до 
. Поскольку значение составляющих скоростей независимы, то:
Число молекул в единице объема параллелепипеда:
Эта величина не зависит от направления скорости 
. Шаровой слой в пространстве скоростей состоит из рассматриваемых параллелепипедов.
Отсюда:
– закон Максвелла распределения молекул по скоростям.
– вероятность того, что у произвольно выбранной молекулы газа модуль скорости окажется в интервале между 
и 
; это доля всех молекул, скорости которых лежат в интервале от до .
– функция распределения молекул по скоростям.
а) СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ.
Число молекул в единице объема, скорости которых заключены в интервале до равно 
. Сумма скоростей всех таких молекул равна 
. Сумма скоростей всех молекул, обладающих любыми скоростями: 
.
Средняя арифметическая скорость равна:
Преобразуем подынтегральное выражение:
Введем новую переменную: 
. Тогда:
Вычисляем интеграл по частям:
.
Следовательно:
– средняя арифметическая скорость.
Можно также показать, что: 
б) СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧНАЯ СКОРОСТЬ
Аналогично предыдущему получаем:
.
Записанный интеграл вычисляется аналитически. В результате: 
Средняя квадратичная скорость: 
.
в) НАИВЕРОЯТНЕЙШАЯ (НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНАЯ) СКОРОСТЬ
Наивероятнейшая скорость 
– скорость, около которой группируются скорости наибольшего числа молекул газа. Этой скорости соответствует максимум кривой распределения Максвелла, поэтому она может быть определена на основе исследования на максимум функции распределения 
:
С точностью до const: 
.
Уравнение имеет три решения:
1. 
не соответствуют максимуму кривой;
2. 
не соответствуют максимуму кривой;
3. 
– наивероятнейшая скорость.