 |
|
Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях
Установившийся режим – напряжения и токи цепи являются периодическими или постоянными во времени соответственно при внешнем периодическом или постоянном воздействии.
Переходный режим – процесс перехода от одного установившегося состояния в другое, вызываемое коммутацией в схеме с реактивными элементами в цепи.
Практически длительность переходного процесса может составлять доли секунды, теоретически – стремится к бесконечности.
Коммутация – различные включения, переключения пассивных и активных элементов цепи, приводящие к изменению цепи и ее параметров.
Во многих случаях считают, что коммутация совершается мгновенно.
Рисунок 1 – RLC-цепь
, (1)
где i(t) – мгновенный ток в цепи;
R – активное сопротивление;
L – индуктивность катушки;
С – емкость конденсатора;
e(t) – мгновенная ЭДС.
Основные методы расчета:
а) Классический метод – искомую переходную функцию (ток, напряжение) записывают в виде суммы принужденной и свободной составляющих этой функции. Постоянные интегрирования, входящие в свободную составляющую, находят, исходя из начальных условий искомой функции и ее производных.
Число постоянных интегрирования определяется порядком диф. уравнения n. Необходимое число производных в момент коммутации (t=0) равно n-1. Вид свободной составляющей зависит от корней характеристического уравнения. Классический метод применяют для решения диф. уравнений первой и второй степени. При более высоких степенях определение постоянных интегрирования и решение характеристического уравнения затруднительно.
б) Операторные методы. Метод преобразования Лапласа и ДТ-метод (метод Пухова) – интегрально-дифференциальные уравнения преобразовывают в алгебраические относительно новой переменной. Переход к алгебраическим уравнениям в методе Лапласа осуществляется интегральным преобразованием, а в новом ДТ-методе дифференциальным преобразованием,
Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно изображения искомой функции. Затем, искомую функцию в методе Лапласа восстанавливают в зависимости от вида изображения — по таблицам соответствия изображения и оригинала, формулам разложения и интегралу Бромвича.
В ДТ-методе возвращение к исходной функции происходит с помощью ряда Тейлора (Пуховым этот метод методом ДТ-преобразований, так как искомая функция преобразовывается путем ее дифференцирования, и восстанавливается применением ряда Тейлора).
В операторных методах применяют операторные схемы замещения, которые рассчитывают методами анализа установившихся процессов при источниках с постоянными ЭДС и токами.
в) Спектральный (метод преобразования Фурье) – метод основан на преобразовании Фурье. Представляет собой частный случай преобразования Лапласа и в основном применяется к абсолютно интегрируемым функциям.
Преобразование Фурье устанавливает связь между спектральным составом напряжения (тока) на входе, выходе и частотной характеристикой цепи, что необходимо при решении многих задач по электротехнике
Достоинством метода является сведение расчета переходного процесса к расчету установившегося процесса при гармонических источниках. Однако при этом приходится интегрировать сложные функции. Применение метода особенно целесообразно, когда известна частотная характеристика схемы, а не сама схема
г) Интеграл Дюамеля – переходный процесс в схеме с нулевыми начальными условиями при воздействии источника ЭДС (тока) произвольной формы рассчитывают по уравнению, называемому интегралом Дюамеля.
Применению интеграла предшествует расчет переходного процесса при включении рассматриваемой схемы к единичному источнику постоянного напряжения (единичному источнику постоянного тока). При этом определяют переходную функцию (для тока или напряжения)
Данный метод применяют при расчете схем с входным импульсным напряжением сложной формы.
д) Метод переменных состояния – токи и напряжения ветвей определяются по предварительно найденным значениям независимых переменных, называемых переменными состояния.
В качестве независимых переменных, обычно, принимают непрерывные во времени переменные iL и uC. Формируются 2 системы уравнений: систему уравнений состояния цепи и систему уравнений выходных переменных (искомых токов и напряжений).
Законы коммутации.
В электрических цепях энергия, накопленная в электрических (емкостной элемент) и магнитных (индуктивный элемент) полях, не может изменяться скачком:
W(0‑)=W(0+);
Wэл.поля=(CU2)/2; (2)
Wм.поля=(LI2)/2.
I) Ток и потокосцепление индуктивного элемента не могут изменяться скачком и в момент коммутации равны тем значениям, которые они имели непосредственно перед коммутацией:
iL(0‑)= iL(0+); Ψ(0‑)= Ψ(0+). (3)
II) Напряжение и заряд на емкостном элементе не могут изменяться скачком и в момент коммутации равны тем значениям, которые они имели непосредственно перед коммутацией:
uC(0‑)= uC(0+); Q(0‑)= Q(0+). (4)
Принужденная составляющая – определяется частным решением диф. уравнения для послекоммутационной схемы. Принужденный режим задается источниками энергии, действующими в цепи.
Свободная составляющая – разность переходного и установившегося тока или напряжения. Это общее решение однородного диф. уравнения для послекоммутационной схемы без источников ЭДС и тока. Свободная составляющая со временем затухает.
Начальные условия – значения величин и их производных в момент коммутации t=0+.
Независимые условия – значения токов в индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах в момент коммутации t=0+.
Зависимые условия – остальные значения токов и напряжений в момент коммутации t=0+.