 |
|
Лекция 8.Основные законы распределения ДСВ
Опр1.Говорят, что ДСВ Х имеет биноминальный закон распределения, если она принимает значения 0,1,2,…,n с вероятностями 
, где 0<p<1, q=1-p, m=0,1,…,n.
Замеч: Вероятности P{Х=m}находится по формуле Бернулли. Следовательно ДСВ, распределенная по биномиальному закону -это число наступления события А(число «успехов») в n испытаниях Бернулли.
Теорема 1:МО и дисперсия СВ Х, распределенной по биномиальному закону, соответственно равны: M(X)=np, D(X)=npq.
Док-во:СВХ-число наступлений соб А (успех) в n исп Бернулли. => ее можно предст в виде X=∑nk=1Xk, Xk (k=1,2…n)-случайная величина,*ая выраж число наступлений соб А в k-том испытании, т е Xk=1,если соб А наступило в k-том испытании, Xk=0,если соб А не наступило в k-том испытании. Т к исп Бернулли явл независ и вер-ть появления соб А в каждом испытании постоянна,то => СВ Х1,Х2…Хn независ м/у собой и каждое из них имеет 1 и тот же закон распред-я Xk(k=1,2…n): xi 0 1, pi g p.
Найдем числовые хар-ки СВ Xk (к=1,2…n). M(Xk)=def∑2i=1xipi=0*g+1*p=p D(Xk)=def∑2i=1[xi-M(Xk)]2pi=[0-p]2g+[1-p]2p=p2g+g2p=pg(p+g)=pg. Тогда M(X)=M(∑nk=1Xk)=∑nk=1M(Xk)= ∑nk=1p=np.
D(X)=D(∑nk=1Xk)=!X1,X2…Xn-независ!= ∑nk=1D(Xk)= ∑nk=1pg=npg.
Зам: Биноминальный закон распределения широко используется при проведения выборочного контроля качества продукции, при описании систем массового обслуживания, и других областей.
Опр: говорят, что ДСВ Х имеетзакон распределения Пуассона ,если она принимает значения 0,1,2,…(счетное множество) с вероятностями 
, где m=0,1,2,…; 
-параметр закона Пуассона.
Теорема 2:МО и дисперсия СВ Х, распределенной по закону Пуассона , равны параметру 
этого закона ,т.е. М(Х)= 
,D(X)= 
.
Теорема3:Сумма двух независимых СВ, распределенных по закону Пуассона с параметрами 
и 
,есть СВ ,так же распределенная по закону Пуассона с параметром 
, где и – параметры з. Пуассона для 1-ой и 2-ой СВ соответственно.
Док-во:Пусть независ СВ X,Y распред по закону Пуассона сооттв с парам λ1 и λ2. Докажем,что СВ Z=X+Y также распред по закону Пуассона с парам λ=λ1+λ2. Очевидно,что возможн зн-я СВ Z следующ:0,1,2…Найдем соотв им вер-ти P{Z=n}= P{X+Y=n}=P(∑nm=0{X=m,Y=n-m})=!слагаемые попарно несовместны!= ∑nm=0P{X=m,Y=n-m} =∑nm=0P({X=m}*{Y=n-m})(X,Y-независ)= ∑nm=0 P{X=m}*P{Y=n-m}=∑nm=0λ1me-λ1/m!*λ2n-me-λ2/(n-m)!=e -(λ1+ λ2)* ∑nm=0 λ1m *λ2 n-m*n!/m!(n-m)!*n!= e -(λ1+ λ2)/n!* ∑nm=0 Cmnλ1mλ2n-m (бином (λ1+ λ2)n)= e -(λ1+ λ2)/n!*(λ1+ λ2)n=e-λ λn/n!