Примеры решения задач

ББК 22.331я73

С32

Электростатика: Методические указания к решению задач по физике / О. И. Сердюк; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2007. 48 с.

Методические указания содержат краткие теоретические сведения по электростатике, примеры решения типовых задач и набор задач для проведения практических, контрольных занятий, индивидуальные задания для контроля самостоятельной работы студентов.

Методические указания предназначены для студентов первого курса технических специальностей очной формы обучения при подготовке к занятиям и экзаменам.

Библиогр.: 4 назв. Табл. 1. Рис. 11.

Рецензенты: доктор техн. наук, профессор В. В. Харламов;

канд. физ.-мат. наук Г. И. косенко.

_________________________

путей сообщения, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение............................................................................................. 5

1. Взаимодействие зарядов. Закон Кулона....................................... 5

1.1. Примеры решения задач......................................................... 6

1.2. Задачи для самостоятельного решения................................ 10

2. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции. По-

ток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса 13

2.1. Примеры решения задач....................................................... 15

2.2. Задачи для самостоятельного решения................................ 19

3. Потенциал. Работа сил электростатического поля. Связь

напряженности и потенциала....................................................... 22

3.1. Примеры решения задач....................................................... 23

3.2. Задачи для самостоятельного решения................................ 25

4. Движение заряженных частиц в электрических полях............... 28

4.1. Примеры решения задач....................................................... 29

4.2. Задачи для самостоятельного решения................................ 32

5. Электроемкость. Конденсаторы. Энергия заряженного

проводника, заряженного конденсатора......................................... 37

5.1. Примеры решения задач....................................................... 38

5.2. Задачи для самостоятельного решения................................ 41

Библиографический список.............................................................. 47

ВВЕДЕНИЕ

Успешное изучение общего курса физики в вузе невозможно без умения применять физические закономерности при решении практических задач, однако именно решение задач вызывает наибольшие затруднения у студентов. Цель данных методических указаний – оказание помощи студентам в освоении методики решения задач и обеспечение практических аудиторных занятий, контрольных работ определенным набором задач по разделу «Электростатика».

В каждом разделе данных методических указаний содержатся краткие теоретические сведения, рекомендации по решению задач, которые помогут подготовиться к занятиям, а также представлены примеры решения типовых задач по основным темам электростатики и задачи для самостоятельного решения.

В основу каждой физической задачи положен частный случай проявления законов физики, поэтому, прежде чем приступить к решению задачи, необходимо изучить теоретический материал по соответствующей теме. Затем следует записать условие задачи, перевести единицы измерения всех величин в основные единицы СИ и, если это необходимо, сделать схематический рисунок, отражающий условие задачи. Задачу следует решать в общем виде. Это означает, что сначала определяется формула для расчета искомой величины, затем в нее подставляются численные данные. Это позволяет лучше понять физические закономерности, в частности, выяснить, как зависит искомая величина от изменения исходных данных.

1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯДОВ. ЗАКОН КУЛОНА

Электростатика изучает электрическое поле, которое создается неподвижными относительно данной системы отсчета электрическими зарядами. Взаимодействие между электрическими зарядами осуществляется за счет электростатического поля. При изучении теоретического материала необходимо разобраться с понятиями «электрический заряд», «точечный заряд», а также усвоить, что закон Кулона применим только к точечным зарядам и сферически-симметричным заряженным телам. При решении задач по электростатике следует иметь в виду, что при взаимодействии нескольких зарядов силы взаимодействия каждой пары зарядов не зависят от наличия остальных зарядов, поэтому сила , действующая на каждый заряд, равна вектор-

ной сумме сил , действующих на него со стороны всех других зарядов (принцип суперпозиции сил):

. (1)

В задачах, в которых заряды находятся в равновесии, результирующая сила , действующая на каждый заряд, равна нулю.

Примеры решения задач

Задача 1. В вершинах квадрата ABCD (рис. 1) находятся точечные заряды q_B = q_D = 20 нКл, q_A = = -50 нКл. Найти величину и направление силы, действующей на заряд q_C = 40 нКл. Сторона квадрата равна 4 см.

Дано: а = 4 см = 4×10^-² м q_B = q_D = 20 нКл = 2×10^-⁸ Кл q_A = -50 нКл = -5×10^-⁸ Кл q_c = 40 нКл = 4×10^-⁸ Кл

Найти: F, b.

Решение. Расставим на рисунке силы, действующие на заряд q_c со стороны зарядов q_A, q_B, q_D.

Согласно принципу суперпозиции

. (2)

Выберем оси координат Ох и Oу и запишем уравнения в проекциях на них:

(3)

Oх: F_x =-F_A cos a – F_D;

Oу: F_у = -F_A sin a + F_B,

где a = 45°.

По закону Кулона

(4)

Подставим формулы (4) в уравнения (3) и рассчитаем проекции сил по формулам:

(5)

Так как заряды q_B и q_D одинаковые, то и сила F_В = F_D. Кроме того, cos 45° = sin 45°. Следовательно, проекции результирующей силы равны: F_х = = F_у = 56×10^-⁴ Н.

Модуль силы

F = 79×10^-⁴ (Н).

Для определения направления результирующей силы необходимо найти угол b, который она составляет с осью Ох:

tg b = ; tg b = 1; b = 45°.

Ответ: F = 79×10^-⁴ Н, b = 45°.

Задача 2. Два точечных заряда (180 и 720 нКл) находятся на расстоянии 60 см друг от друга и жестко закреплены (рис. 2). Какого знака и в какой точке должен находиться третий заряд, чтобы он был в равновесии?

Дано: q_l = 180 нКл = 18×10^-⁸ Кл q₂ = 720 нКл = 72×10^-⁸ Кл r = 60 см = 0,6 м

Найти:

Решение. Заряд q₃ будет находиться в равновесии в том случае, если результирующая сила, действующая на него, равна нулю. Это значит, что на заряд q₃ (см. рис. 2) должны действовать две силы, равные по величине и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков (I, II, III) может быть выполнено это условие. Для определенности предположим, что заряд q₃ – положительный. На участке I обе силы ( и ) направлены влево, на участке III – вправо, значит, условие равновесия может выполняться только на участке II.

Условие равновесия в векторной форме имеет вид:

+ = 0. (6а)

Запишем уравнение (6а) в проекции на ось Оx:

- = 0; = . (6б)

Найдем выражение для сил по закону Кулона:

; (7)

(8)

Приравняем правые части уравнений (7) и (8) и выполним алгебраические действия, в результате которых получим:

. (9)

По условию задачи выберем положительный корень. Выразим из формулы (9) и подставим данные задачи:

; (10)

= 0,2 м.

Предположим, что заряд q₃ может двигаться только вдоль линии, соединяющей заряды q₁ и q₂. Определим знак заряда q₃, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в исходное положение. Если положительный заряд q₃ слегка отклонить влево от положения равновесия, то обе силы изменятся: F₁₃ будет возрастать, F₂₃ – убывать. Значит, результирующая сила будет направлена вправо, т. е. к положению равновесия. Если заряд q₃отклонить вправо, то F₁₃ будет убывать, F₂₃ – возрастать. Значит, результирующая сила будет направлена влево, т. е. к положению равновесия. Условие, что заряд q₃ может двигаться только вдоль прямой, очень важно, так как направления вверх и вниз неустойчивы. Для отрицательного заряда q₃ положение равновесия будет неустойчивым.

Ответ: = 0,2 м.

Задача 3. Два одинаковых маленьких металлических шарика массой 1 г каждый подвешены в одной точке на непроводящих нитях длиной 1 м каждая (рис. 3). Какой заряд необходимо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол 60°?

Дано: a = 60° m₁ = m₂ = m = 1 г = 10^-³ кг

= 1 м

Найти: q.

Решение. После сообщения шарикам заряда q, он распределится поровну между ними, поскольку они одинаковые. На каждом шарике окажется заряд q/2, в результате чего между шариками возникает электрическая сила отталкивания. Рассмотрим силы, действующие на один из шариков: - сила тяжести, - натяжения, - электрическая. Шарик будет находиться в равновесии, если результирующая этих сил равна нулю: