Приклад виконання завдання⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 11
На рис. 8.6 задана плоска фігура з розмірами в сантиметрах :a=4, b = 4, c = 6, d = 5, m = 3, n = 2, 5, h = 3, 6, l = 2, 4, з якої вирізано отвір у вигляді півкруга радіусом R = 1 , а видалений контур L має форму квадратичної параболи y = A1 x 2 + A2 x + A3 з вершиною в точці K . Визначити положення центра ваги заданої фігури згідно з пунктами 1 - 4 , що містяться в умові завдання. Рисунок 8.6
Розв’язання : Розташовуємо задану фігуру в системі координат x Oy , як показано на рис. 8.7 Виділяємо в фігурі прості елементи і на кожному з них ставимо його номер : 1 - параболічний контур , 2 і 3 - прямокутники , 4 - трикутник , 5 - півкруг. Рисунок 8.7
Визначаємо аналітичний вигляд параболи контуру L , який покажемо на рис. 8.8.
Положення крайніх точок параболи визначається розмірами :
OK = l , ON = h .
Знайдемо коефіцієнти A1 , A2 i A3 для параболи загального вигляду
y = A1 x2 + A2 x + A3. (8.1)
Для параболи (8.1) виконуються умови :
1) y = h при x = 0 , Звідки отримуємо систему рівнянь
h = A1 0 + A2 0 + A3 , Яка дає розв’язки : A1 = h / l 2 , A2 = - 2 h / l , A3 = h . Тоді контур L має такий аналітичний вигляд y = h x 2 / l 2 - 2 h x / l + h = h ( x / l - 1 )2. (8.2)
Знайдемо площу і координати центра ваги фігури , що обмежена координатними осями і контуром L . Площа фігури визначиться інтегралом . (8.3) Центр ваги фігури знаходиться в точці С1 з координатами x 1 i y1 , які визначаються формулами :
x 1 = Ix / S1 , y 1 = I y / S1 , (8.4)
де інтеграли Ix i Iy рівні :
,
Тоді x 1 = Ix / S 1 = l / 4 , y 1 = Iy / S 1 = 0, 3 h . (8.5) Визначаємо площі і координати центра ваги прямокутників під номерами 2 і 3
S2 = ( l + m )·( a + h ) , (8.6) x 2 = ( l + m ) / 2 , y 2 = ( a + h ) / 2 . S 3 = n· d , x 3 = l + m + n / 2, (8.7) y3 = a + h - d / 2 .
Визначаємо площу і координати центра ваги трикутника 4
S4 = 0, 5·d·(b + c - l - m - n ) , x 4 = l + m + n + ( b + c - l - m - n ) / 3 , (8.8) y 4 = a + h - d / 3 .
Визначаємо площу і координати центра ваги півкруга 5
S5 = 0, 5·p×R2 , (8.9) x 5 = b - O 5 C 5 .
Величину відрізка О5 С 5 , див. рис. 8.7 , знаходимо як центр ваги півкруга , що є сектором з центральним кутом рівним p
O 5 C 5 = 4 R / ( 3 p ) , (8.10) y 5 = a + h - h = a .
Координати центра ваги заданої фігури знайдемо за формулами : (8.11) – де вилучені площі S 1 i S 5 ставимо з від’ємним знаком . В формули (8.2), (8.3), (8.5)–(8.11) підставляємо дані задачі і знаходимо координати центра ваги пластини. Площа S 1 і координати центра X1,Y1 фігури 1
, см2, см3, см3, см, см.
Площі і координати центра ваги прямокутників під номерами 2 і 3
S2 =(l+m)·(a+h)=(2,4+3)·(4+ 3, 6 ) = 41, 04 см 2 , x 2 = ( l + m ) / 2 = ( 2, 4 + 3 ) / 2 = 2, 7 см , y 2 = ( a + h ) / 2 = ( 4 + 3, 6 ) / 2 = 3, 8 см , S 3 = n d = 2, 5 5 = 12, 5 см 2 , x 3 = l + m + n / 2 = 2, 4 + 3 + 2, 5 / 2 = 6, 65 см , y3 = a + h - d / 2 = 4 + 3, 6 - 5 / 2 = 5, 1 см .
Площу і координати центра ваги трикутника 4
S4 = 0,5·d(b+c-l-m-n)=0,5·5(4+6-2,4-3-2,5)=5,25 см 2 , x 4 = l+m+n+(b+c-l-m-n)/3=2,4+3+2,5+(4+6-2,4-3-2,5)/3=8,6 см , y 4 = a + h - d / 3 = 4+3,6-5/3 =5, 93 см.
Площу і координати центра ваги півкруга 5 S5 = 0,5·p R2 = 0,5·3,14·1=1,57 см 2 , x 5 = b - O 5 C 5 . O 5 C 5 = 4 R / ( 3 p ) = 4 1 / ( 3 3, 14 ) = 0, 42 см , x 5 = b - O 5 C 5 = 4 - 0, 42 = 3, 58 см , y 5 = a + h - h = a = 4 см .
x C = (-2,88·0,6+41,04·2,7+12,5·6,65+5,25·8,6 -1,57·3,58 ) /(-2,88+
+ 41,04+12,5+5,25-1,57)=231,73/54,34=4,26 см ,
y C = (-2,88·1,08+41,04·3,8+12,5·5,1+5,25·5,93-1,57·4)/54,34=
= 241, 4441 / 54, 34 = 4, 44 см .
Для обчислень контуру L і координат центра ваги заданої фігури за формулами (8.2), (8.3), (8.5) -(8.11) можна використати ПЕОМ. Для цього необхідно скласти програму. Приводимо приклад програми під назвою “CENTR” на мові “BASIC ” і результати розрахунків .
10 REM “ CENTR “ 20 PI=3.14 30 A=4 40 B=4 50 C=6 60 D=5 70 M=3 80 N=2.5 90 H=3.6 100 LPRINT “ CONTUR “ 110 L=2.4 120 FOR X=0 TO L STEP .3 130 Y=H*(X/L-1)^2 140 LPRINT “X=”X, “Y=”Y 150 NEXT X 160 S1=H*L/3 170 S2=(L+M)*(A+: 180 S3=N*D 190 S4=D*(B+C-L-M-N)/2 200 S5=PI*R^2/2 210 X1=L/4 220 X2=(L+M)/2 230 X3=L+M+N/2 240 X4=L+M+N+(B+C-L-M-N)/3 250 OG=4*R/(3*PI) 260 X5=B-OC 270 Y1=. 3*H 280 Y2=(A+H)/2 290 Y3=A+H-D/2 300 Y4=A+H-D/3 310 Y5=A 320 SX=-S1*X1+S2*X2+S3*X3+S4*X4-S5*X5 330 SY=-S1*Y1+S2*Y2+S3*Y3+S4*Y4-S5*Y5 340 S=-S1+S2+S3+S4-S5 350 XC=SX/S 360 YC=SY/S 370 LPRINT “--------------------------------------------------------“ 380 LPRINT “XC=”XC, “YC=”YC 390 LPRINT “--------------------------------------------------------“ END CONTUR X=0 Y= 3.6 X= .3 Y= 2.75625 X= .6 Y= 2.025 X= .9000001 Y= 1.40625 X= 1.2 Y= .9 X= 1.5 Y=.50625 X= 1.8 Y=.250001 X= 2.1 Y=5.625005E-02 X= 2.4 Y=5.115908E-14 -------------------------------------------------------- XC= 4.245305 YC= 4.431079 -----------------------------------------------------------------
Виготовимо з цупкого паперу фігуру за формою і розмірами приведених на рис. 8.6. Контур L будуємо за результатами роздруку програми “СENTR“, або за формулою (8.2) при . Проведемо експеримент, де центр ваги знайдемо методом подвійного підвішування. Результати такого експерименту дають:
x C e = 4, 2 см , y C e = 4, 4 см .
Вирахуємо відносну похибку між результатами знайденими аналітично і експериментально
D ( x C ) = 100 % | x C - xC e| / ( x C + x C e ) / 2 = 1, 42 % , D ( y C ) = 100 % | y C - y C e | / ( y C + y C e ) / 2 = 0, 9 % .
Фігура з цупкого паперу здається разом з роботою.
Література
1. Конспект лекцій з курсу теоретичної механіки. Статика / Уклад. В.О.Федотов, В.І. Степанчук. – Вінниця: ВПІ, 1991.-84с. Укр. мовою/. 2. Методичні вказівки до виконання розрахунково-графічної роботи з розрахунку плоскої ферми за допомогою ЕОМ / Уклад. В.О. Приятельчук . – Вінниця: ВПІ, 1991.-32с. Укр. мовою/. 3. Методичні вказівки до розрахунку збірної конструкції для студентів бакалаврату спеціальностей Б-57, Б-33, Б-34 триступеневої підготовки спеціалістів з вищою інженерною освітою /Уклад. В.О. Приятельчук, В.І.Риндюк. – Вінниця: ВДТУ, 1994.-32с. Укр. мовою/. 4. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособие для техн. вузов /А.А. Яблонський, С.С. Норейко, С.А.Вольфсон, и др./ Под ред. А.А. Яблонського. –4-е изд. перераб. и доп. М.: ВШ, 1985.-367с. 5. Технічна механіка. кн.1. Теоретична механіка: Підручник/ Д.В.Черні- левський, Я.Т. Кіницький, В.М.Колосов та ін. За ред. Д.В.Чернілевського. – К.: НМК ВО, 1992. -384с. 6. Яблонський А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики.Ч.1. Статика. Кинематика. Учебник. Изд. 4-е перераб. М.: ВШ, 1971.-424с.
Навчальне видання Приятельчук В.О., Риндюк В.І., Федотов В.О.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|