 |
|
Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
При чистому згинанні криволінійного бруса, вісь якого обкреслена по дузі окружності (рис. 4.13), розподіл напружень у всіх радіальних перерізах однакове. Отже, напруження в такому брусі можна визначати по формулах (4.40).
Рис. 4.13. Чисте згинання криволінійного бруса
Для визначення вхідних у ці формули постійних маємо наступні умови на криволінійних поверхнях:
при 
| (а) |
при 
| (б) |
На торцях рівнодіюча зусиль повинна бути дорівнює нулю, тобто
 ,
| (в) |
і тому ці зусилля повинні приводитися до пари з моментом 
:
 .
| (г) |
Умови (а) і (б) для дотичних напружень 
виконуються тотожно, а відносно нормальних напружень після підстановки першої формули (4.40) приводяться до наступних рівнянь:
 ;
| (д) |
 .
| (е) |
Умова (в) приймає наступний розгорнутий вид:
,
звідки після інтегрування
 .
| (ж) |
Аналогічно з умови (г) у вигляді
після інтегрування одержуємо
.
Неважко бачити, що при виконанні умов (д) і (е) умова задовольняється тотожно. Вирішуючи спільно рівняння (д), (е) і (з), одержуємо:
;
.
Тут введене позначення:
.
Підставляючи отримані постійні у формули (4.40), знаходимо
| (4.41) |
Епюри напружень 
і 
побудовані на рис. 4.13.
Точне рішення задачі про чисте згинання, а також задача про поперечне згинання криволінійного бруса вперше отримане в 1881 р. X. С. Головіним.
Порівнюючи формули (4.41) і (3.23), зауважуємо, що на відміну від прямого бруса при чистому згинанні криволінійного існує тиск волокон один на одного. В опорі матеріалів рішення задачі чистого згинання криволінійного бруса засновано на гіпотезі плоских перерезів і допущенні про відсутність тиску поздовжніх волокон один на одного. При цьому виходять наступні результати:
| (4.42) |
де 
— площа поперечного переріза; 
— відстань від центра ваги перерізу до нейтральної осі; 
— середній радіус кривизни бруса.
У табл. 4.1 наведені результати обчислення напружень по формулах (4.41) і (4.42) для бруса великої кривизни, коли висота перерізу 
або радіус 
. Найбільше значення напруження , отримане методом теорії пружності, прийнято за одиницю.
Таблиця 4.1
Порівняння результатів теорії пружності та опору матеріалів
| Формули |
| 
| |
при 
| при 
| ||
| Теорії пружності (4.41) | –1,000 | 0,492 | –0,192 |
| Опору матеріалів (4.42) | –1,005 | 0,480 | |
| Розбіжність, % | 0,5 | 2,5 | -- |
Як видно з таблиці, навіть при дуже великій кривизні бруса рішення опору матеріалів відносно нормального напруження відрізняється всього на 2,5% від точного рішення. Максимальні нормальні напруження становлять 19,2% від 
, однак вони виникають у точках, де напруження близькі до нуля, і, отже, не мають значення при оцінці міцності. Тому при розрахунку криволінійних брусів рішення опору матеріалів цілком прийнятно.