Главная | Обратная связь

Зусилля в пластинці

Досліджуємо, які зусилля відповідають напруженням (5.6) у перерізах пластинки, нормальних до її серединної площини. На рис. 5.3 зображений нескінченно малий елемент пластинки, вирізаний такими перетинами.

Рис. 5.3. Нескінченно малий елемент пластинки

Розглянемо спочатку площадку з нормаллю, паралельної осі . По ній діють складові напружень , і . На рисунку показані позитивні напруження: нормальне напруження спрямоване по зовнішній нормалі до перерізу, а дотичні — у напрямку відповідних позитивних координатних осей, тому що зовнішня нормаль до перерізу збігається з позитивним напрямком осі .

Позначимо через нормальну силу, що доводиться на одиницю ширини розглянутого перерізу. Вона дорівнює проекції на вісь рівнодіючої внутрішніх сил у перерізі з нормаллю, паралельної осі . На цю вісь проектується тільки нормальне напруження . Відповідна йому внутрішня сила на нескінченно малій площадці дорівнює , а на одиницю ширини перернізу доводиться сила . Підсумовуючи ці елементарні сили по товщині пластинки, одержуємо вираз нормальної сили

.

Підставимо сюди нормальну напругу з формул (5.6) і винесемо за знак інтеграла величини, що не залежать від координати :

Під знаком інтеграла стоїть непарна функція, а границі інтегрування відрізняються тільки знаком. Тому інтеграл дорівнює нулю, а, отже, нормальна сила .

Аналогічно визначаємо згинальний момент , що представляє собою суму елементарних моментів :

Після інтегрування одержуємо

.

Вхідна сюди величина

(5.7)

називається циліндричною жорсткістю. Вона є фізико-гeoметриною характеристикою пластинки при згинанні.

Поперечна сила в розглянутому перерезі

.

Підставимо в цей інтеграл вираз дотичного напруження , з формул (5.6):

.

Після інтегрування одержуємо

.

Зсувну силу , знаходимо, підсумовуючи проекції внутрішніх сил у тім же перерезі на вісь :

.

Після підстановки дотичного напруження з формул (5.6)

.

Крутний момент

.

(а)

Аналогічно визначаються зусилля в перерезі з нормаллю, паралельної, осі (рис. 5.3):

(б)

Порівнюючи формули (а) і (б), зауважуємо, що

Таким чином, під дією поперечного навантаження в перерізах пластинки, перпендикулярних її серединній площини, виникають наступні зусилля:

згинальні моменти

(5.8)

поперечні сили

(5.9)

і крутний момент

(5.10)

Всі вони виражені через прогини серединної площини. Позитивні напрямки зазначених зусиль показані на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Позитивні напрямки зусиль