Главная | Обратная связь

Определение обратных вероятностей для идеального приемника

На вход приемника поступает сигнал

y(t) = x(t) + n(t),

где x(t) – сигнал известный точно (известны его параметры на приемной стороне). Приемник анализирует сигнал y(t) в течении некоторого времени T и на основании этого анализа воспроизводит сообщение x наилучшим (наиболее вероятным) образом. Математически это означает, что на основе анализа суммарного колебания y(t) приемник должен вычислить условное распределение P(x/y) для всех возможных значений х. P(x/y) показывает какова вероятность причины х, если известно вызванное ею следствие.

 

Известно, что

, где

P(x) – известная априорная вероятность, P(y) – безусловная вероятность распределения величины y

Величину 1/P(y) можно рассматривать как множитель K.

Очевидно, что этот множитель не изменит положение максимума P(y/x), поэтому его можно не учитывать.

Множитель P(y/x) есть вероятность величины у при заданном х. Но при данном х функция x(t) известна точно. Следовательно, вероятность реализации y(t) совпадает с такой вероятностью реализации помехи n(t), которая равна разности [y(t) – x(t)].

Полагают, что помеха имеет вид нормального белого шума с плотностью распределения

А m-мерная плотность вероятности независимых событий определяется:

P(n₁,n₂,…,n_m)=P(n₁)*P(n₂)*…*P(n_m)

Здесь f_i – ординаты случайного процесса, они берутся с дискретность 1/2fb, где fb – максимальная частота спектра процесса n(t), и поэтому они оказываются статистически независимыми. Следовательно можно записать:

, i = 1…m

На основании теоремы Парсеваля при разложении помехи в ряд Котельникова имеем:

Таким образом получаем:

Поскольку n(t) = y(t) – x(t), получаем P(y/x) = P(n) и записываем:

, где

K₁ – постоянный коэффициент

Q_x – энергия сигнала, которая в общем случае зависит от х

r_x – корреляция между принятым колебанием y(t) и ожидаемым сигналом x(t)

После приема сообщения y(t) величину

можно рассматривать как постоянный коэффициент, который с учетом коэффициента K₁ обозначим K₂.

В результате получим:

Отсюда следует, что основной операцией при определении обратной вероятности является вычисление корреляции r_x

Величина r_x должна быть определена для всех возможных х.Это просто, если величина дискретная. Для непрерывных величин можно применить дискретизацию по времени.

Для облегчения вычислений целесообразно находить не саму функцию P(y/x), а ее логарифм:

так как при изменении х наибольшее значение ln P(y/x) соответствует наибольшему значению P(y/x). оптимальный приемник отбирает то значение х, для которого ln P(y/x) имеет наибольшее значение. Коэффициент K₂ не влияет на фопму кривой ln P(y/x), поэтому его можно принять равным 1. Тогда получаем: