Дифференциальное исчисление
Понятие производной Определение: Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю: . Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.
Механический смысл производной:скорость есть первая производная пути по времени, т.е. . Геометрический смысл производной:тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции , вычисленной в точке касания, т.е. Уравнение касательнойк графику функции в точке : Уравнение нормали к графику функции в точке :
Таблица производных
Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.
Рассмотрим примеры. Найти производные функций: Пример 1: Решение: +
Пример2: Решение: Пример 3: Решение: Дифференциал функции
Определение: Дифференциалом функции y=y(x) называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной: .
Для большей наглядности рассмотрим пример.
Пример 1: Найти дифференциал функции Решение: Так как , то .
Дифференцирование сложной функции
Пусть y= y(u) , где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция, причем , или Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих. Производные сложных функций находятся при помощи таблицы:
Рассмотрим примеры.
Пример 1: Найти производную функции Решение: = Пример 2: Найти производную функции Решение: = +
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|