Линейные дифференциальные уравнения
Первого порядка Определение: Уравнение вида Уравнения такого вида сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки
Алгоритм решения: 1) Вводится подстановка 2) Исходное уравнение принимает вид:
3) Группируются слагаемые при u.
4) Выражение в скобках приравнивается к нулю:
Это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, находим 5) Полученное значение v подставляется в выражение:
Решив уравнение с разделяющимися переменными, получим функцию 6) Общее решение уравнения запишется в виде:
Пример 1: Найти общее решение уравнения Решение: Обозначим Уравнение примет вид Вынесем во втором и третьем слагаемом общий множитель за скобки, получим Выражение в скобках приравняем к нулю v′ - vtgx = 0 Перепишем в виде Умножая обе части уравнения на интегрируем находим получим откуда Пропотенцируем обе части равенства v = Найденную функцию du = sinx∙cos∙xdx или Интегрируем Получим Зная функции u и v , можно записать ответ. Ответ: Общее решение уравнения у =
Пример 2: Найти частное решение дифференциального уравнения
Решение: Пусть Отсюда, Вынесем u за скобки: Приравняв скобку к 0 , получим: Отсюда, Интегрируем
Подставив
Проинтегрируем Запишем общее решение уравнения : Частное решение найдем из условия
Частное решение заданного уравнения имеет вид: Ответ:
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|