 |
|
Линейные дифференциальные уравнения
Первого порядка
Определение: Уравнение вида 
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Уравнения такого вида сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки 
, где 
, 
- некоторые функции, зависящие от x.
Алгоритм решения:
1) Вводится подстановка , тогда 
.
2) Исходное уравнение принимает вид:
.
3) Группируются слагаемые при u.
.
4) Выражение в скобках приравнивается к нулю:
.
Это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, находим 
.
5) Полученное значение v подставляется в выражение:
.
Решив уравнение с разделяющимися переменными, получим функцию 
.
6) Общее решение уравнения запишется в виде:
.
Пример 1: Найти общее решение уравнения
.
Решение: Обозначим 
, тогда 
.
Уравнение примет вид 
.
Вынесем во втором и третьем слагаемом общий множитель за скобки, получим 
.
Выражение в скобках приравняем к нулю v′ - vtgx = 0
Перепишем в виде 
Умножая обе части уравнения на 
, получим 
,
интегрируем 
находим 
, применим замену 
получим 
,
откуда 
или 
, 
.
Пропотенцируем обе части равенства v = 
.
Найденную функцию 
подставим в выражение 
и решим полученное уравнение 
du = sinx∙cos∙xdx или 
Интегрируем 
,
Получим 
.
Зная функции u и v , можно записать ответ.
Ответ: Общее решение уравнения у = 
.
Пример 2: Найти частное решение дифференциального уравнения 
, если 
при 
.
Решение: Пусть , тогда .
Отсюда, 
.
Вынесем u за скобки: 
.
Приравняв скобку к 0 , получим: 
.
Отсюда, 
, 
.
Интегрируем 
,
, 
, 
.
Подставив в выражение 
, получим уравнение относительно функции u и решим его.
, 
, 
, .
Проинтегрируем 
. Функция 
.
Запишем общее решение уравнения : 
.
Частное решение найдем из условия при .
, 
, 
.
Частное решение заданного уравнения имеет вид: 
.
Ответ: 
- частное решение уравнения.