С помощью второй производной
1. Найти производную . 2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых . 3. Найти вторую производную . 4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производнаяокажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной. 5. Вычислить значения функции в точках экстремума. Пример 1:Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: . Решение: Находим производную: . Решая уравнение , получим стационарную точку х =1. Найдем теперь вторую производную: . Так как вторая производная в стационарной точке положительна, , то при функция имеет минимум: . Ответ: Точка минимума имеет координаты .
Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба Определение: Кривая называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка. Определение: Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка. y y
x x Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх на этом промежутке. Определение: Точка графика функции , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.
y
x Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная об- ращается в нуль или терпит разрыв. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|